Danh mục: TOÁN 10

BÀI TẬP

5.11. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

(1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn.

(2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại.

(3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.

(4) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.

(5) Các số đo độ phân tán đều không âm.

5.12. Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như sau:

(Hình ảnh biểu đồ A và B)

Không tính toán, hãy cho biết:

a) Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không?

b) Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?

5.13. Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:

a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.

b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.

5.14. Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được:

Giá trị nhỏ nhất bằng 2,5; $Q_1 = 36$; $Q_2 = 60$; $Q_3 = 100$; giá trị lớn nhất bằng 205.

a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là bao nhiêu?

b) Chỉ ra hai giá trị sao cho có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.

c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

5.15. Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg):

2,977; 3,155; 3,920; 3,412; 4,236

2,593; 3,270; 3,813; 4,042; 3,387.

Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.

5.16. Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) được cho như sau:

7,8; 3,2; 7,7; 8,7; 8,6; 8,4; 7,2; 3,6

5,0; 4,4; 6,7; 7,0; 4,5; 6,0; 5,4.

Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.

BÀI TẬP

5.7. Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:

a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:

9, 8, 15, 8, 20.

b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):

350, 300, 650, 300, 450, 500, 300, 250.

c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:

36, 38, 33, 34, 32, 30, 34, 35.

5.8. Hãy chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mỗi mẫu số liệu sau. Giải thích và tính giá trị của số đặc trưng đó.

a) Số mặt trăng đã biết của các hành tinh:

Hành tinh	Thuỷ tinh	Kim tinh	Trái Đất	Hoả tinh	Mộc tinh	Thổ tinh	Thiên Vương tinh	Hải Vương tinh
Số mặt trăng	0	0	1	2	63	34	27	13
(Theo NASA)

b) Số đường chuyền thành công trong một trận đấu của một số cầu thủ bóng đá:

32, 24, 20, 14, 23.

c) Chỉ số IQ của một nhóm học sinh: 60, 72, 63, 83, 68, 74, 90, 86, 74, 80.

d) Các sai số trong một phép đo: 10, 15, 18, 15, 14, 13, 42, 15, 12, 14, 42.

5.9. Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2018 – 2019 của 10 trường Trung học phổ thông được cho như sau:

0, 0, 4, 0, 0, 0, 10, 0, 6, 0.

a) Tìm số trung bình, mốt, các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.

5.10. Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam năm 2018 (số liệu gần đúng).

Sân vận động	Cẩm Phả	Thiên Trường	Hàng Đẫy	Thanh Hoá	Mỹ Đình
Số chỗ ngồi	20 120	21 315	23 405	20 120	37 546
(Theo vov.vn)

Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng thế nào nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình?

BÀI TẬP

5.1. Trong các số sau, những số nào là số gần đúng?

a) Cân một túi gạo cho kết quả là 10,2 kg.

b) Bán kính Trái Đất là 6 371 km.

c) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mất 365 ngày.

5.2. Giải thích kết quả “Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là $1235 \pm 5$ m” và thực hiện làm tròn số gần đúng.

5.3. Sử dụng máy tính cầm tay tìm số gần đúng cho $\sqrt[3]{7}$ với độ chính xác 0,0005.

5.4. Các nhà vật lí sử dụng ba phương pháp đo hằng số Hubble lần lượt cho kết quả như sau:

$67,31 \pm 0,96$; $67,90 \pm 0,55$; $67,74 \pm 0,46$.

Phương pháp nào chính xác nhất tính theo sai số tương đối?

5.5. An và Bình cùng tính chu vi của hình tròn bán kính 2 cm với hai kết quả như sau:

Kết quả của An: $S_1 = 2\pi R \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 2 = 12,56$ cm;

Kết quả của Bình: $S_2 = 2\pi R \approx 2 \cdot 3,1 \cdot 2 = 12,4$ cm.

Hỏi:

a) Hai giá trị tính được có phải là các số gần đúng không?

b) Giá trị nào chính xác hơn?

5.6. Làm tròn số 8 316,4 đến hàng chục và 9,754 đến hàng phần trăm rồi tính sai số tuyệt đối của số quy tròn.

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV

A – TRẮC NGHIỆM

4.27. Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. $\vec{u} = (2; 3)$ và $\vec{v} = \left(\frac{1}{2}; 6\right)$.

B. $\vec{a} = (\sqrt{2}; 6)$ và $\vec{b} = (1; 3\sqrt{2})$.

C. $\vec{i} = (0; 1)$ và $\vec{j} = (1; 0)$.

D. $\vec{c} = (1; 3)$ và $\vec{d} = (2; -6)$.

4.28. Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. $\vec{u} = (2; 3)$ và $\vec{v} = (4; 6)$.

B. $\vec{a} = (1; -1)$ và $\vec{b} = (-1; 1)$.

C. $\vec{z} = (a; b)$ và $\vec{t} = (-b; a)$.

D. $\vec{n} = (1; 1)$ và $\vec{k} = (2; 0)$.

4.29. Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?

A. $\vec{a} = (1; 1)$.

B. $\vec{b} = (1; -1)$.

C. $\vec{c} = \left(2; \frac{1}{2}\right)$.

D. $\vec{d} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{-1}{\sqrt{2}}\right)$.

4.30. Góc giữa vectơ $\vec{a} = (1; -1)$ và vectơ $\vec{b} = (-2; 0)$ có số đo bằng:

A. $90^\circ$.

B. $0^\circ$.

C. $135^\circ$.

D. $45^\circ$.

4.31. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c})$.

B. $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = \vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2$.

C. $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \sin(\vec{a}, \vec{b})$.

D. $\vec{a} \cdot (\vec{b} – \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} – \vec{a} \cdot \vec{c}$.

4.32. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $a$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(\vec{AB}, \vec{BD}) = 45^\circ$.

B. $(\vec{AC}, \vec{BC}) = 45^\circ$ và $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = a^2$.

C. $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = a^2 \sqrt{2}$.

D. $\vec{BA} \cdot \vec{BD} = -a^2$.

---

B – TỰ LUẬN

4.33. Trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ lấy điểm $M$ sao cho $MB = 3MC$.

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\vec{MB}$ và $\vec{MC}$.

b) Biểu thị vectơ $\vec{AM}$ theo hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

4.34. Cho hình bình hành $ABCD$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$, ta có:

$\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{MB} + \vec{MD}$.

4.35. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A(2; 1), B(-2; 5)$ và $C(-5; 2)$.

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{BA}$ và $\vec{BC}$.

b) Chứng minh rằng $A, B, C$ là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

d) Tìm tọa độ của điểm $D$ sao cho tứ giác $BCAD$ là một hình bình hành.

4.36. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A(1; 2), B(3; 4), C(-1; -2)$ và $D(6; 5)$.

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$.

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ cùng phương.

c) Giả sử $E$ là điểm có tọa độ $(a; 1)$. Tìm $a$ để các vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{BE}$ cùng phương.

d) Với $a$ tìm được, hãy biểu thị vectơ $\vec{AE}$ theo các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

4.37. Cho vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$. Chứng minh rằng $\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a}$ (hay còn được viết là $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\vec{a}$.

4.38. Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u}$ với $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ và $\vec{a} \perp \vec{b}$. Xét một hệ trục $Oxy$ với các vectơ đơn vị $\vec{i} = \vec{a}, \vec{j} = \vec{b}$. Chứng minh rằng:

a) Vectơ $\vec{u}$ có tọa độ là $(\vec{u} \cdot \vec{a}; \vec{u} \cdot \vec{b})$.

b) $\vec{u} = (\vec{u} \cdot \vec{a})\vec{a} + (\vec{u} \cdot \vec{b})\vec{b}$.

4.39. Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng $S15^\circ E$ với vận tốc có độ lớn bằng $20\text{ km/h}$. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng $3\text{ km/h}$.

BÀI TẬP

4.16. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $M(1; 3)$, $N(4; 2)$.

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng $OM, ON, MN$.

b) Chứng minh rằng tam giác $OMN$ vuông cân.

4.17. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các vectơ $\vec{a} = 3\vec{i} – 2\vec{j}$, $\vec{b} = (4; -1)$ và các điểm $M(-3; 6)$, $N(3; -3)$.

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\vec{MN}$ và $2\vec{a} – \vec{b}$.

b) Các điểm $O, M, N$ có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm $P(x; y)$ để $OMNP$ là một hình bình hành.

4.18. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $A(1; 3), B(2; 4), C(-3; 2)$.

a) Hãy giải thích vì sao các điểm $A, B, C$ không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$.

c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

d) Tìm điểm $D(x; y)$ để $O(0; 0)$ là trọng tâm của tam giác $ABD$.

4.19. Sự chuyển động của một tàu thuỷ được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau:

Tàu khởi hành từ vị trí $A(1; 2)$ chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ $\vec{v} = (3; 4)$. Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

4.20. Trong Hình 4.38, quân mã đang ở vị trí có tọa độ $(1; 2)$. Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

BÀI TẬP

4.11. Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Hãy biểu thị $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$.

4.12. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $AB, CD$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$.

4.13. Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$.

a) Hãy xác định điểm $K$ sao cho $\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \vec{0}$.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm $O$, ta có $\overrightarrow{OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$.

4.14. Cho tam giác $ABC$.

a) Hãy xác định điểm $M$ để $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \vec{0}$.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm $O$, ta có $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OM}$.

4.15. Chất điểm $A$ chịu tác động của ba lực $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}$ như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là $\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0}$). Tính độ lớn của các lực $\vec{F_2}, \vec{F_3}$, biết $\vec{F_1}$ có độ lớn là $20\text{ N}$.

BÀI TẬP

4.6. Cho bốn điểm $A, B, C, D$. Chứng minh rằng:

a) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{0}$;

b) $\vec{AC} – \vec{AD} = \vec{BC} – \vec{BD}$.

4.7. Cho hình bình hành $ABCD$. Hãy tìm điểm $M$ để $\vec{BM} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\vec{CD}$ và $\vec{CM}$.

4.8. Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a$. Tính độ dài của các vectơ $\vec{AB} – \vec{AC}$, $\vec{AB} + \vec{AC}$.

4.9. Hình 4.19 biểu diễn hai lực $\vec{F_1}, \vec{F_2}$ cùng tác động lên một vật, cho $|\vec{F_1}| = 3 \text{ N}, |\vec{F_2}| = 2 \text{ N}$. Tính độ lớn của hợp lực $\vec{F_1} + \vec{F_2}$.

4.10. Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này để sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn được giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước?

BÀI TẬP

4.1. Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều khác $\vec{0}$. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều cùng hướng với $\vec{0}$;

b) Nếu $\vec{b}$ không cùng hướng với $\vec{a}$ thì $\vec{b}$ ngược hướng với $\vec{a}$;

c) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng phương với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương;

d) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

4.2. Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, các cặp vectơ ngược hướng và các cặp vectơ bằng nhau.

4.3. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là một hình bình hành khi và chỉ khi $\vec{BC} = \vec{AD}$.

4.4. Cho hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Hãy chỉ ra tập hợp $S$ gồm tất cả các vectơ khác $\vec{0}$, có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp $\{A; B; C; D; O\}$. Hãy chia tập $S$ thành các nhóm sao cho hai vectơ thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.

4.5. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, hãy vẽ các vectơ $\vec{OA}, \vec{MN}$ với $A(1; 2), M(0; -1), N(3; 5)$.

a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vectơ trên.

b) Một vật thể khởi hành từ $M$ và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ $\vec{v} = \vec{OA}$. Hỏi vật thể đó có đi qua $N$ hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới $N$?

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG III

A – TRẮC NGHIỆM

3.12. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 135^\circ$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) A. $S = \frac{1}{2}ca$. B. $S = \frac{-\sqrt{2}}{4}ac$. C. $S = \frac{\sqrt{2}}{4}bc$. D. $S = \frac{\sqrt{2}}{4}ca$.

b) A. $R = \frac{a}{\sin A}$. B. $R = \frac{\sqrt{2}}{2}b$. C. $R = \frac{\sqrt{2}}{2}c$. D. $R = \frac{\sqrt{2}}{2}a$.

c) A. $a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}ab$. B. $\frac{b}{\sin A} = \frac{a}{\sin B}$. C. $\sin B = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. D. $b^2 = c^2 + a^2 – 2ca \cos 135^\circ$.

3.13. Cho tam giác $ABC$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) A. $S = \frac{abc}{4R}$. B. $r = \frac{2S}{a + b + c}$. C. $a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos A$. D. $S = r(a + b + c)$.

b) A. $\sin A = \sin(B + C)$. B. $\cos A = \cos(B + C)$. C. $\cos A > 0$. D. $\sin A \le 0$.

---

B – TỰ LUẬN

3.14. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $M = \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ + \sin 30^\circ$;

b) $N = \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ + \frac{1}{2} \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ$;

c) $P = 1 + \tan^2 60^\circ$;

d) $Q = \frac{1}{\sin^2 120^\circ} – \cot^2 120^\circ$.

3.15. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 60^\circ, \widehat{C} = 45^\circ, AC = 10$. Tính $a, R, S, r$.

3.16. Cho tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$. Chứng minh rằng:

a) $\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0$;

b) $MA^2 + MB^2 – AB^2 = 2MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB}$ và $MA^2 + MC^2 – AC^2 = 2MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}$;

c) $MA^2 = \frac{2(AB^2 + AC^2) – BC^2}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

3.17. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

a) Nếu góc $A$ nhọn thì $b^2 + c^2 > a^2$;

b) Nếu góc $A$ tù thì $b^2 + c^2 < a^2$;

c) Nếu góc $A$ vuông thì $b^2 + c^2 = a^2$.

3.18. Trên biển, tàu $B$ ở vị trí cách tàu $A$ 53 km về hướng N34°E. Sau đó, tàu $B$ chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30 km/h về hướng đông và tàu $A$ chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 50 km/h để đuổi kịp tàu $B$.

a) Hỏi tàu $A$ cần phải chuyển động theo hướng nào?

b) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu $A$ đuổi kịp tàu $B$?

3.19. Trên sân bóng chày dành cho nam, các vị trí gôn Nhà (Home plate), gôn 1 (First base), gôn 2 (Second base), gôn 3 (Third base) là bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài 27,4 m. Vị trí đứng ném bóng (Pitcher’s mound) nằm trên đường nối gôn Nhà với gôn 2, và cách gôn Nhà 18,44 m. Tính các khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3.