Thẻ: Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$ với $A(a; 0)$ và $B(0; 1)$ như Hình 5.5 ($a > 0$). Đường cao $OH$ có độ dài là $h$.

Giải

a) Tính $h$ theo $a$

Ta có $OA = |a| = a$ (vì $a > 0$) và $OB = 1$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $OAB$:

$$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{1^2} = \frac{1 + a^2}{a^2}$$

$$\implies h^2 = \frac{a^2}{a^2 + 1} \implies h = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}}$$

b) Khi điểm $A$ dịch chuyển về $O$

Khi $A$ dịch chuyển về $O$, tức là $a \to 0^+$.

Ta có:

$$\lim_{a \to 0^+} h = \lim_{a \to 0^+} \frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{0}{\sqrt{0^2 + 1}} = 0$$

Giải thích:

Khi $a$ càng nhỏ, cạnh $OA$ càng ngắn lại, làm cho đường cao $OH$ cũng ngắn dần về $0$. Khi đó, điểm $H$ sẽ dịch chuyển dần về gốc tọa độ $O$.

c) Khi $A$ dịch chuyển ra vô cực ($a \to +\infty$)

Ta cần tính giới hạn của $h$ khi $a$ tiến ra vô cực:

$$\lim_{a \to +\infty} h = \lim_{a \to +\infty} \frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}}$$

Chia cả tử và mẫu cho $a$ (với $a > 0$):

$$\lim_{a \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{a^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} = 1$$

Giải thích:

• Về độ dài: $h$ tiến dần về $1$ (chính bằng độ dài $OB$).

• Về vị trí: Khi $A$ ở rất xa, cạnh huyền $AB$ gần như nằm ngang và trùng với trục $Ox$. Khi đó, đường cao $OH$ hạ từ $O$ xuống $AB$ sẽ gần như thẳng đứng và trùng với trục $Oy$. Do đó, điểm $H$ sẽ dịch chuyển dần về điểm $B(0; 1)$.

Chứng minh: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^k} = 0$ (với $k \in \mathbb{Z}^+$)

Giải

Tiêu chuẩn Weierstrass

Hàm số $f(x)$ có giới hạn là $L$ khi $x \to +\infty$ nếu:

Với mọi số thực $\epsilon > 0$ bé tùy ý, luôn tồn tại một số thực $M > 0$ sao cho:

$$\forall x > M \implies |f(x) – L| < \epsilon$$

Chứng minh cụ thể cho $f(x) = \frac{1}{x^k}$ với $L = 0$

Ta cần tìm một số $M$ (phụ thuộc vào $\epsilon$) sao cho hễ $x > M$ thì $|\frac{1}{x^k} – 0| < \epsilon$.

Phân tích biểu thức

Ta muốn có:

$$|\frac{1}{x^k}| < \epsilon$$

Vì ta đang xét $x \to +\infty$, có thể giả sử $x > 0$. Khi đó biểu thức tương đương với:

$$\frac{1}{x^k} < \epsilon$$

$$\iff x^k > \frac{1}{\epsilon}$$

$$\iff x > \sqrt[k]{\frac{1}{\epsilon}}$$

Chọn số $M$

Dựa vào phân tích trên, với mỗi số $\epsilon > 0$ cho trước, ta chọn:

$$M = \sqrt[k]{\frac{1}{\epsilon}}$$

Kết luận

Với mọi $x > M$, ta có:

$$x > \sqrt[k]{\frac{1}{\epsilon}} \implies x^k > \frac{1}{\epsilon} \implies \frac{1}{x^k} < \epsilon$$

Điều này chứng tỏ rằng $|f(x) – 0| < \epsilon$ luôn đúng khi $x > M$.

Vậy, theo tiêu chuẩn Weierstrass, ta đã chứng minh được:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^k} = 0$

Chứng minh định lý về hằng số:

$\lim_{x \to \pm\infty} c = c$

Giải

Xét một dãy số $(x_n)$ bất kỳ sao cho $x_n \to +\infty$ (hoặc $-\infty$).

Xét hàm số hằng $f(x) = c$. Điều này có nghĩa là với mọi giá trị của $x$, kết quả luôn luôn là $c$.

Khi đó, dãy giá trị tương ứng là $f(x_n) = c, c, c, \dots$ (một dãy số hằng).

Theo lý thuyết giới hạn của dãy số, giới hạn của một dãy hằng số chính là hằng số đó: $\lim_{n \to +\infty} f(x_n) = c$.

Kết luận:

Vì kết quả đúng với mọi dãy $(x_n)$, nên theo định nghĩa: $\lim_{x \to \pm\infty} c = c$.