Blog

8.11. Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc với $P(A) > 0, P(B) > 0$. Chứng tỏ rằng hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập.

8.12. Một thùng đựng 60 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 60. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong thùng. Xét hai biến cố sau:

$A$: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 60” và $B$: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 48”.

Chứng tỏ rằng $A$ và $B$ là hai biến cố không độc lập.

8.13. Có hai túi đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có 3 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu đỏ. Túi II có 10 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Tính xác suất để:

a) Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh;

b) Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ;

c) Hai viên bi được lấy có cùng màu;

d) Hai viên bi được lấy không cùng màu.

8.14. Có hai túi mỗi túi đựng 10 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 10. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5.

8.15. Trong đợt kiểm tra cuối học kì II lớp 11 của các trường trung học phổ thông, thống kê cho thấy có $93\%$ học sinh tỉnh X đạt yêu cầu; $87\%$ học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X và một học sinh của tỉnh Y. Giả thiết rằng chất lượng học tập của hai tỉnh là độc lập. Tính xác suất để:

a) Cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu;

b) Cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu;

c) Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu;

d) Có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu.

BÀI TẬP

8.6. Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp (lấy xong không trả lại vào hộp). Tiếp đó đến lượt bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh.

---

8.7. Lớp 11A của một trường có 40 học sinh, trong đó có 14 bạn thích nhạc cổ điển, 13 bạn thích nhạc trẻ và 5 bạn thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp. Tính xác suất để:

a) Bạn đó thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ;

b) Bạn đó không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ.

---

8.8. Một khu phố có 50 hộ gia đình nuôi chó hoặc nuôi mèo, trong đó có 18 hộ nuôi chó, 16 hộ nuôi mèo và 7 hộ nuôi cả chó và mèo. Chọn ngẫu nhiên một hộ trong khu phố trên. Tính xác suất để:

a) Hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo;

b) Hộ đó không nuôi cả chó và mèo.

---

8.9. Một nhà xuất bản phát hành hai cuốn sách $A$ và $B$. Thống kê cho thấy có 50% người mua sách $A$; 70% người mua sách $B$; 30% người mua cả sách $A$ và sách $B$. Chọn ngẫu nhiên một người mua. Tính xác suất để:

a) Người mua đó mua ít nhất một trong hai sách $A$ hoặc $B$;

b) Người mua đó không mua cả sách $A$ và sách $B$.

---

8.10. Tại các trường trung học phổ thông của một tỉnh, thống kê cho thấy có 63% giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa $A$, 56% giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa $B$ và 28,5% giáo viên môn Toán tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa $A$ và $B$. Tính tỉ lệ giáo viên môn Toán các trường trung học phổ thông của tỉnh đó không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa $A$ và $B$.

BÀI TẬP

8.1. Một hộp đựng 15 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 15. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ và quan sát số ghi trên thẻ. Gọi $A$ là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ nhỏ hơn 7”; $B$ là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số nguyên tố”.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Mỗi biến cố $A \cup B$ và $AB$ là tập con nào của không gian mẫu?

---

8.2. Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố sau:

$E$: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đều là số chẵn”;

$F$: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc khác tính chẵn lẻ”;

$K$: “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số chẵn”.

Chứng minh rằng $K$ là biến cố hợp của $E$ và $F$.

---

8.3. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường em. Xét hai biến cố sau:

$P$: “Học sinh đó bị cận thị”;

$Q$: “Học sinh đó học giỏi môn Toán”.

Nêu nội dung của các biến cố $P \cup Q$; $PQ$ và $\overline{P}\overline{Q}$.

---

8.4. Có hai chuồng nuôi thỏ. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 3 con thỏ trắng và 7 con thỏ đen. Từ mỗi chuồng bắt ngẫu nhiên ra một con thỏ. Xét hai biến cố sau:

$A$: “Bắt được con thỏ trắng từ chuồng I”;

$B$: “Bắt được con thỏ đen từ chuồng II”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố $A$ và $B$ độc lập.

---

8.5. Có hai chuồng nuôi gà. Chuồng I có 9 con gà mái và 3 con gà trống. Chuồng II có 3 con gà mái và 6 con gà trống. Bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng I để đem bán rồi dồn các con gà còn lại của chuồng I vào chuồng II. Sau đó bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng II. Xét hai biến cố sau:

$E$: “Bắt được con gà trống từ chuồng I”;

$F$: “Bắt được con gà mái từ chuồng II”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố $E$ và $F$ không độc lập.

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VII

A – TRẮC NGHIỆM

7.33. Cho các phát biểu sau:

1. Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có giao tuyến là đường thẳng $a$ và cùng vuông góc với mặt phẳng $(R)$ thì $a \perp (R)$.
2. Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau và có giao tuyến là đường thẳng $a$, một đường thẳng $b$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và vuông góc với đường thẳng $a$ thì $b \perp (Q)$.
3. Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $a$ và $a$ vuông góc với $(Q)$ thì $(P) \perp (Q)$.
4. Đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ thì $a \perp (Q)$.

Số phát biểu đúng trong các phát biểu trên là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

7.34. Cho mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ và $a$ là giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$. Trong các phát biểu dưới đây, phát biểu nào đúng?

A. Đường thẳng $d$ nằm trên $(Q)$ thì $d$ vuông góc với $(P)$.

B. Đường thẳng $d$ nằm trên $(Q)$ và $d$ vuông góc với $a$ thì $d$ vuông góc với $(P)$.

C. Đường thẳng $d$ vuông góc với $a$ thì $d$ vuông góc với $(P)$.

D. Đường thẳng $d$ vuông góc với $(Q)$ thì $d$ vuông góc với $(P)$.

7.35. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Số đo của góc nhị diện $[S, AB, C]$ bằng $\widehat{SBC}$.

B. Số đo của góc nhị diện $[D, SA, B]$ bằng $90^\circ$.

C. Số đo của góc nhị diện $[S, AC, B]$ bằng $90^\circ$.

D. Số đo của góc nhị diện $[D, SA, B]$ bằng $\widehat{BSD}$.

7.36. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và $SA \perp (ABCD)$. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$.

B. Đường thẳng $BD$ vuông góc với mặt phẳng $(SAC)$.

C. Đường thẳng $AC$ vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$.

D. Đường thẳng $AD$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$.

7.37. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng $S$, chiều cao bằng $h$ là:

A. $V = S \cdot h$.

B. $V = \frac{1}{2} S \cdot h$.

C. $V = \frac{1}{3} S \cdot h$.

D. $V = \frac{2}{3} S \cdot h$.

B – TỰ LUẬN

7.38. Cho tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OA = a$, $OB = a\sqrt{2}$ và $OC = 2a$. Tính khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$.

7.39. Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $ABC$ cân tại $A$, tam giác $BCD$ cân tại $D$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC$.

• a) Chứng minh rằng $BC \perp (AID)$.
• b) Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $AID$. Chứng minh rằng $AH \perp (BCD)$.
• c) Kẻ đường cao $IJ$ của tam giác $AID$. Chứng minh rằng $IJ$ là đường vuông góc chung của $AD$ và $BC$.

7.40. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B, BC = a$ và $\widehat{CAB} = 30^\circ$. Biết $SA \perp (ABC)$ và $SA = a\sqrt{2}$.

• a) Chứng minh rằng $(SBC) \perp (SAB)$.
• b) Tính theo $a$ khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $SC$ và khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

7.41. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Biết tam giác $SAD$ vuông cân tại $S$ và $(SAD) \perp (ABCD)$.

• a) Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.ABCD$.
• b) Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SC$.

7.42. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$, $AA’ \perp (ABCD)$ và $\widehat{BAD} = 60^\circ$.

• a) Tính thể tích của khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$.
• b) Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A’BD)$.

7.43. Cho hình lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$. Biết $A’.ABCD$ là hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng $a$. Tính theo $a$ thể tích của khối lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$ và thể tích của khối chóp $A’.BB’C’C$.

7.44. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân, $AB \parallel CD$ và $AB = BC = DA = a, CD = 2a$. Biết hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$. Tính theo $a$ khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABCD)$ và thể tích của khối chóp $S.ABCD$.

7.45. Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột $AB$ có chiều dài bằng $10\text{ m}$ và tạo với mặt đất góc $80^\circ$. Tại một thời điểm dưới ánh sáng mặt trời, bóng $BC$ của cây cột trên mặt đất dài $12\text{ m}$ và tạo với cây cột một góc bằng $120^\circ$ (tức là $\widehat{ABC} = 120^\circ$). Tính góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên.

7.28. Cho khối chóp đều $S.ABC$, đáy có cạnh bằng $a$, cạnh bên bằng $b$. Tính thể tích của khối chóp đó. Từ đó suy ra thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng $a$.

7.29. Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có $AA’ = 5 \text{ cm}$, $AB = 6 \text{ cm}$, $BC = 2 \text{ cm}$, $\widehat{ABC} = 150^\circ$. Tính thể tích của khối lăng trụ.

7.30. Cho khối chóp đều $S.ABCD$, đáy có cạnh $6 \text{ cm}$. Tính thể tích của khối chóp đó trong các trường hợp sau:

a) Cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng $60^\circ$.

b) Mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng $45^\circ$.

7.31. Cho khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có đáy là các tam giác đều cạnh $a$, $A’A = A’B = A’C = b$. Tính thể tích của khối lăng trụ.

7.32. Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh $8 \text{ dm}$, bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc, sau đó bác hàn các mép lại để được một chiếc thùng (không có nắp) như Hình 7.99.

a) Giải thích vì sao chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.

b) Tính cạnh bên của thùng.

c) Hỏi thùng có thể chứa được nhiều nhất bao nhiêu lít nước?

7.22. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là một hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAD$ là một tam giác đều và $(SAD) \perp (ABCD)$.

a) Tính chiều cao của hình chóp.

b) Tính khoảng cách giữa $BC$ và $(SAD)$.

c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa $AB$ và $SD$.

7.23. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có $AA’ = a, AB = b, BC = c$.

a) Tính khoảng cách giữa $CC’$ và $(BB’D’D)$.

b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa $AC$ và $B’D’$.

7.24. Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh đều bằng $a$. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $AB, CD$. Chứng minh rằng:

a) $MN$ là đường vuông góc chung của $AB$ và $CD$.

b) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện $ABCD$ đều vuông góc với nhau.

7.25. Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ có cạnh $a$.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(D’AC)$ và $(BC’A’)$ song song với nhau và $DB’$ vuông góc với hai mặt phẳng đó.

b) Xác định các giao điểm $E, F$ của $DB’$ với $(D’AC), (BC’A’)$. Tính $d((D’AC), (BC’A’))$.

7.26. Giá đỡ ba chân ở Hình 7.90 đang được mở sao cho ba gốc chân cách đều nhau một khoảng cách bằng $110\text{ cm}$. Tính chiều cao của giá đỡ, biết các chân của giá đỡ dài $129\text{ cm}$.

7.27. Một bể nước có đáy thuộc mặt phẳng nằm ngang. Trong trường hợp này, độ sâu của bể là khoảng cách giữa mặt nước và đáy bể. Giải thích vì sao để đo độ sâu của bể, ta có thể thả quả dọi chạm đáy bể và đo chiều dài của đoạn dây dọi nằm trong bể nước.

7.16. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$.

a) Chứng minh rằng $(SAB) \perp (ABC)$ và $(SAH) \perp (SBC)$.

b) Giả sử tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $\widehat{ABC} = 30^\circ, AC = a, SA = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính số đo của góc nhị diện $[S, BC, A]$.

7.17. Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$.

a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.

b) Chứng minh rằng $(ACC’A’) \perp (BDD’B’)$.

c) Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Chứng minh rằng $\widehat{COC’}$ là một góc phẳng của góc nhị diện $[C, BD, C’]$. Tính (gần đúng) số đo của các góc nhị diện $[C, BD, C’]$, $[A, BD, C’]$.

7.18. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$.

a) Chứng minh rằng $(BDD’B’) \perp (ABCD)$.

b) Xác định hình chiếu của $AC’$ trên mặt phẳng $(ABCD)$.

c) Cho $AB = a, BC = b, CC’ = c$. Tính $AC’$.

7.19. Cho hình chóp đều $S.ABC$, đáy có cạnh bằng $a$, cạnh bên bằng $b$.

a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.

b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.

7.20. Hai mái nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật. Giả sử $AB = 4,8\text{ m}$; $OA = 2,8\text{ m}$; $OB = 4\text{ m}$.

a) Tính (gần đúng) số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà.

b) Chứng minh rằng mặt phẳng $(OAB)$ vuông góc với mặt đất phẳng. Lưu ý: Đường giao giữa hai mái (đường nóc) song song với mặt đất.

c) Điểm $A$ ở độ cao (so với mặt đất) hơn điểm $B$ là $0,5\text{ m}$. Tính (gần đúng) góc giữa mái nhà (chứa $OB$) so với mặt đất.

7.21. Độ dốc của mái nhà, mặt sân, con đường thẳng là tang của góc tạo bởi mái nhà mặt sân, con đường thẳng đó với mặt phẳng nằm ngang. Độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá $\frac{1}{12}$. Hỏi theo đó, góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá bao nhiêu độ? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

7.10. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

a) Xác định hình chiếu của điểm $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$.

b) Xác định hình chiếu của tam giác $SBC$ trên mặt phẳng $(ABC)$.

c) Xác định hình chiếu của tam giác $SBC$ trên mặt phẳng $(SAB)$.

7.11. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$.

a) Tính góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

b) Tính góc giữa $BD$ và mặt phẳng $(SAC)$.

c) Tìm hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $(SAC)$.

7.12. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $SA = AB = BC = a$.

a) Xác định hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $(SBC)$.

b) Tính góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$.

7.13. Cho điểm $S$ nằm ngoài mặt phẳng $(P)$, có hình chiếu $H$ trên $(P)$. Với mỗi điểm $M$ bất kì (không trùng $H$) trên mặt phẳng $(P)$, ta gọi đoạn thẳng $SM$ là đường xiên, đoạn thẳng $HM$ là hình chiếu trên $(P)$ của đường xiên đó. Chứng minh rằng:

a) Hai đường xiên $SM$ và $SM’$ bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu $HM$, $HM’$ tương ứng của chúng bằng nhau;

b) Đường xiên $SM$ lớn hơn đường xiên $SM’$ nếu hình chiếu $HM$ lớn hơn hình chiếu $HM’$.

7.14. Trong một khoảng thời gian đầu kể từ khi cất cánh, máy bay bay theo một đường thẳng. Góc cất cánh của nó là góc giữa đường thẳng đó và mặt phẳng nằm ngang nơi cất cánh. Hai máy bay cất cánh và bay thẳng với cùng độ lớn vận tốc trong 5 phút đầu, với các góc cất cánh lần lượt là $10^\circ, 15^\circ$. Hỏi sau 1 phút kể từ khi cất cánh, máy bay nào ở độ cao so với mặt đất (phẳng, nằm ngang) lớn hơn?

Chú ý. Độ cao của máy bay so với mặt đất là khoảng cách từ máy bay (coi là một điểm) đến hình chiếu của nó trên mặt đất.

7.15. Hãy nêu cách đo góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí và một thời điểm.

7.5. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác cân tại $A$ và $SA \perp (ABC)$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng:

a) $BC \perp (SAM)$;

b) Tam giác $SBC$ cân tại $S$.

7.6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA \perp (ABCD)$. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp $S.ABCD$ là các tam giác vuông.

7.7. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật và $SA \perp (ABCD)$. Gọi $M, N$ tương ứng là hình chiếu của $A$ trên $SB, SD$. Chứng minh rằng:

$AM \perp (SBC), AN \perp (SCD), SC \perp (AMN)$.

7.8. Bạn Vinh thả quả dọi chìm vào thùng nước. Hỏi khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng hay không?

7.9. Một cột bóng rổ được dựng trên một sân phẳng. Bạn Hùng đo khoảng cách từ một điểm trên sân, cách chân cột 1 m đến một điểm trên cột, cách chân cột 1 m được kết quả là 1,5 m (H.7.27). Nếu phép đo của Hùng là chính xác thì cột có vuông góc với sân hay không? Có thể kết luận rằng cột không có phương thẳng đứng hay không?

7.1. Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có các đáy là các tam giác đều. Tính góc $(AB, B’C’)$.

7.2. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng tứ diện $ACB’D’$ có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.

7.3. Cho tứ diện $ABCD$ có $\widehat{CBD} = 90^\circ$.

a) Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của $AB, AD$. Chứng minh rằng $MN$ vuông góc với $BC$.

b) Gọi $G, K$ tương ứng là trọng tâm của các tam giác $ABC, ACD$. Chứng minh rằng $GK$ vuông góc với $BC$.

7.4. Đối với nhà gỗ truyền thống, trong các cấu kiện: hoành, quá giang, xà cái, rui, cột tương ứng được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 như trong Hình 7.8, những cặp cấu kiện nào vuông góc với nhau?