Thẻ: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Vận dụng 2. (Giải thích nghịch lý Zeno)

Giả sử Achilles chạy với vận tốc $v_A = 100$ km/h, vận tốc của rùa là $v_R = 1$ km/h và khoảng cách ban đầu giữa họ là $a = 100$ km.

• a) Tính thời gian $t_1, t_2, \dots, t_n, \dots$ tương ứng để Achilles đi từ $A_1$ đến $A_2$, từ $A_2$ đến $A_3, \dots$, từ $A_n$ đến $A_{n+1}, \dots$ (Trong đó $A_1$ là vị trí xuất phát của Achilles, $A_2$ là vị trí ban đầu của rùa, $A_3$ là vị trí rùa đạt được khi Achilles đến $A_2, \dots$).
• b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_nA_{n+1}, \dots$, tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa.
• c) Sai lầm trong lập luận của Zeno nằm ở đâu?

Giải

a) Tính các khoảng thời gian $t_n$

• Thời gian $t_1$: Để Achilles đi hết quãng đường ban đầu $A_1A_2 = 100$ km:$$t_1 = \frac{100}{100} = 1 \text{ (giờ)}$$
• Trong thời gian $t_1 = 1$ giờ này, rùa đã đi thêm được một quãng đường $A_2A_3$:$$s_2 = v_R \cdot t_1 = 1 \cdot 1 = 1 \text{ (km)}$$
• Thời gian $t_2$: Để Achilles đi hết quãng đường $A_2A_3 = 1$ km:$$t_2 = \frac{1}{100} \text{ (giờ)}$$
• Tương tự, quãng đường rùa đi tiếp là $s_3 = v_R \cdot t_2 = 1 \cdot \frac{1}{100} = \frac{1}{100}$ (km).
• Thời gian $t_3$: Để Achilles đi hết quãng đường $A_3A_4$:$$t_3 = \frac{1/100}{100} = \frac{1}{100^2} \text{ (giờ)}$$

Tổng quát: Thời gian $t_n$ tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu $t_1 = 1$ và công bội $q = \frac{1}{100}$.

$$t_n = \frac{1}{100^{n-1}}$$

---

b) Tính tổng thời gian $T$

Tổng thời gian để Achilles đuổi kịp rùa là tổng của chuỗi vô hạn các khoảng thời gian trên:

$$T = t_1 + t_2 + t_3 + \dots + t_n + \dots$$

$$T = 1 + \frac{1}{100} + \frac{1}{100^2} + \dots$$

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = 1$ và $q = \frac{1}{100}$. Áp dụng công thức:

$$T = \frac{1}{1 – \frac{1}{100}} = \frac{1}{\frac{99}{100}} = \frac{100}{99} \approx 1,01 \text{ (giờ)}$$

---

c) Sai lầm của Zeno

Sai lầm của Zeno nằm ở quan niệm về thời gian và sự vô hạn:

1. Zeno cho rằng một tổng có vô số các khoảng thời gian dương ($t_1, t_2, \dots$) thì tổng đó phải bằng vô cực.
2. Tuy nhiên, toán học hiện đại chứng minh rằng một tổng vô hạn các số hạng vẫn có thể hội tụ về một giá trị hữu hạn (ở đây là $100/99$ giờ).

Vì vậy, dù Achilles phải vượt qua vô số điểm chia, ông ta vẫn đuổi kịp rùa trong một khoảng thời gian ngắn ngủi và xác định.

Luyện tập 4. Tính tổng của dãy số sau:

$$S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{49} + \dots + \frac{2}{7^{n-1}} + \dots$$

Giải

Dãy số đã cho là:

$S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{49} + \dots + \frac{2}{7^{n-1}} + \dots$

Xác định các thành phần của dãy

• Số hạng đầu tiên: $u_1 = 2$
• Số hạng thứ hai: $u_2 = \frac{2}{7}$
• Công bội: $q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{2/7}{2} = \frac{1}{7}$

Kiểm tra điều kiện

Vì $|q| = |\frac{1}{7}| < 1$, nên đây là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Áp dụng công thức tính tổng

Thay các giá trị vào công thức $S = \frac{u_1}{1 – q}$, ta có:

$$S = \frac{2}{1 – \frac{1}{7}}$$

$$S = \frac{2}{\frac{6}{7}}$$

$$S = 2 \cdot \frac{7}{6}$$

$$S = \frac{7}{3}$$

Kết luận:

Vậy tổng của dãy số là

$S = \frac{7}{3}$.

Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ thỏa mãn $|q| < 1$. Chứng minh rằng tổng của cấp số nhân này được tính bằng công thức:

$$S = \frac{u_1}{1 – q}$$

Giải

Thiết lập biểu thức tổng hữu hạn $S_n$

Xét tổng của $n$ số hạng đầu tiên:

$$S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q}$$

Ta có thể tách biểu thức này thành hai phần để dễ quan sát giới hạn:

$$S_n = \frac{u_1}{1 – q} – \frac{u_1 \cdot q^n}{1 – q}$$

Lấy giới hạn khi $n$ tiến đến vô cực

Theo định nghĩa, tổng vô hạn $S$ chính là giới hạn của $S_n$ khi $n \to +\infty$:

$$S = \lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \left[ \frac{u_1}{1 – q} – \left( \frac{u_1}{1 – q} \right) \cdot q^n \right]$$

Khử các đại lượng triệt tiêu

Vì $|q| < 1$, theo lý thuyết giới hạn ta có $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$. Do đó:

$$S = \frac{u_1}{1 – q} – \frac{u_1}{1 – q} \cdot 0$$

$$S = \frac{u_1}{1 – q}$$

Kết luận:

Với $|q| < 1$, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn luôn hội tụ về giá trị:

$$\mathbf{S = \frac{u_1}{1 – q}}$$

Cho hình vuông cạnh bằng $1$ (đơn vị độ dài).

1. Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ ở góc dưới bên trái.
2. Lặp lại thao tác này với hình vuông nhỏ ở góc trên bên phải.
3. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần.

Gọi $u_1, u_2, \dots, u_n, \dots$ lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

a) Tính tổng $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$.

b) Tìm $S = \lim_{n \to +\infty} S_n$.

Giải

Phân tích dãy số:

• Bước 1: Hình vuông ban đầu có cạnh là $1$. Khi chia làm 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, cạnh của mỗi hình vuông nhỏ sẽ là $\frac{1}{2}$. Vậy độ dài cạnh hình vuông tô màu đầu tiên là $u_1 = \frac{1}{2}$.
• Bước 2: Lặp lại thao tác với hình vuông nhỏ (cạnh $\frac{1}{2}$), ta lại chia nó làm 4. Cạnh của hình vuông tô màu tiếp theo sẽ là $u_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
• Tổng quát: Cạnh của hình vuông thứ $n$ là $u_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1 = \frac{1}{2}$ và công bội $q = \frac{1}{2}$.

a) Tính tổng $S_n$

Áp dụng công thức tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân:

$$S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} = \frac{\frac{1}{2} \left[ 1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n \right]}{1 – \frac{1}{2}}$$

$$S_n = \frac{\frac{1}{2} \left[ 1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n \right]}{\frac{1}{2}} = 1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n$$

b) Tìm $S = \lim_{n \to +\infty} S_n$

Vì $|q| = |\frac{1}{2}| < 1$ nên đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.

$$S = \lim_{n \to +\infty} \left[ 1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n \right]$$

Vì $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$, ta có:

$$S = 1 – 0 = 1$$

Kết luận:

• $S_n = 1 – \frac{1}{2^n}$

• $S = 1$