Blog

Luyện tập 1. Trang 105 – SGK Toán 11 – Tập 1

posted on

Chứng minh rằng:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{3^n} = 0$$

Giải

Xét dãy số $u_n = \frac{(-1)^{n-1}}{3^n}$.

Ta có:

$$|u_n| = \left| \frac{(-1)^{n-1}}{3^n} \right| = \frac{|(-1)^{n-1}|}{|3^n|} = \frac{1}{3^n} = \left( \frac{1}{3} \right)^n$$

Vì $|q| = \left| \frac{1}{3} \right| < 1$ nên theo giới hạn cơ bản, ta có:

$$\lim \left( \frac{1}{3} \right)^n = 0$$

Do $|u_n| = \left( \frac{1}{3} \right)^n$ và $\lim \left( \frac{1}{3} \right)^n = 0$, theo định lý về giới hạn trị tuyệt đối, ta suy ra:

$$\lim u_n = 0$$

Vậy:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{3^n} = 0 \text{ (Đpcm)}$$

Chứng minh: Nếu $|u_n| \leq v_n$ và $\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$ thì $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

posted on

Chứng minh: Nếu $|u_n| \leq v_n$ và $\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$ thì $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

Giải

Theo định nghĩa $\lim v_n = 0$,

Với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại $n_0$ sao cho với mọi $n > n_0$ thì $|v_n| < \varepsilon$.

Vì $v_n$ thường được hiểu là dãy không âm theo đề bài (do $v_n \geq |u_n|$),

Ta có:

$v_n < \varepsilon$

Từ giả thiết:

$|u_n| \leq v_n < \varepsilon$.

Như vậy, với cùng số $n_0$ đó, ta có $|u_n| < \varepsilon$ với mọi $n > n_0$.

Theo định nghĩa, $\mathbf{\lim_{n \to +\infty} u_n = 0}$.

Chứng minh: $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$ (với $|q| < 1$)

posted on

Chứng minh: $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$ (với $|q| < 1$)

Giải

Trường hợp 1:

Nếu $q = 0$, hiển nhiên $q^n = 0$ với mọi $n \geq 1$, nên giới hạn bằng $0$.

Trường hợp 2:

Nếu $0 < |q| < 1$,

Đặt $|q| = \frac{1}{1+a}$ với $a > 0$ (vì $|q| < 1$ nên nghịch đảo của nó phải lớn hơn $1$).

Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli:

$(1+a)^n \geq 1 + na > na$.

Từ đó ta có:

$$|q^n| = |q|^n = \frac{1}{(1+a)^n} < \frac{1}{na}$$

Để $|q^n| < \varepsilon$, ta chỉ cần chọn $n$ sao cho $\frac{1}{na} < \varepsilon \iff n > \frac{1}{a\varepsilon}$.

Chọn $n_0$

$n_0 = \left[ \frac{1}{a\varepsilon} \right]$

Kết luận:

Với mọi $n > n_0$, ta có $|q^n| < \frac{1}{na} < \varepsilon$.

Vậy theo định nghĩa:

$\mathbf{\lim_{n \to +\infty} q^n = 0}$.

Chứng minh: $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0$ (với $k$ là số nguyên dương)

posted on

Chứng minh: $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0$ (với $k$ là số nguyên dương)

Giải

Cho trước một số dương $\varepsilon$ tùy ý (dù nhỏ đến mức nào).

Cần tìm một số tự nhiên $n_0$ sao cho với mọi $n > n_0$, ta có $\left| \frac{1}{n^k} – 0 \right| < \varepsilon$.

Xét bất đẳng thức: $\left| \frac{1}{n^k} \right| < \varepsilon$.

Vì $n$ và $k$ đều dương, ta có: $\frac{1}{n^k} < \varepsilon \iff n^k > \frac{1}{\varepsilon}$.

Chọn $n_0$:

Ta chọn $n_0$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $\sqrt[k]{\frac{1}{\varepsilon}}$ (kí hiệu là $\left[ \sqrt[k]{\frac{1}{\varepsilon}} \right]$).

Kết luận:

Với mọi $n > n_0$, ta luôn có $n > \sqrt[k]{\frac{1}{\varepsilon}}$, dẫn đến $\frac{1}{n^k} < \varepsilon$. Theo định nghĩa, ta có: $\mathbf{\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0}$.

Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

posted on

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$.

  • a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.
  • b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ $u_n$ đến $0$ nhỏ hơn 0,01?

Giải

a) Biểu diễn năm số hạng đầu trên trục số

Ta tính giá trị 5 số hạng đầu tiên:

  • $u_1 = \frac{(-1)^1}{1} = -1$
  • $u_2 = \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$
  • $u_3 = \frac{(-1)^3}{3} = -\frac{1}{3} \approx -0,33$
  • $u_4 = \frac{(-1)^4}{4} = \frac{1}{4} = 0,25$
  • $u_5 = \frac{(-1)^5}{5} = -\frac{1}{5} = -0,2$

b) Tìm số hạng thỏa mãn khoảng cách đến 0 nhỏ hơn 0,01

Khoảng cách từ $u_n$ đến $0$ là $|u_n|$. Ta có:

$$|u_n| = \left| \frac{(-1)^n}{n} \right| = \frac{1}{n}$$

Để khoảng cách này nhỏ hơn 0,01, ta cần:

$$\frac{1}{n} < 0,01$$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{100}$$

$$\Leftrightarrow n > 100$$

(vì $n$ là số nguyên dương)

Kết luận:

Kể từ số hạng thứ 101 trở đi (tức là $n \ge 101$), khoảng cách từ $u_n$ đến $0$ sẽ nhỏ hơn 0,01.

Giải bài tập 3.19. SGK trang 44 – TOÁN 10

posted on

Bài 3.19: Trên sân bóng chày, các vị trí gôn Nhà ($H$), gôn 1 ($G_1$), gôn 2 ($G_2$), gôn 3 ($G_3$) tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài 27,4 m. Vị trí đứng ném bóng ($P$) nằm trên đường chéo nối gôn Nhà ($H$) với gôn 2 ($G_2$), và cách gôn Nhà một khoảng 18,44 m.

Yêu cầu: Tính khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng ($P$) tới gôn 1 ($G_1$) và gôn 3 ($G_3$).

Giải

Mô hình hóa các dữ kiện

  • Gọi $H$ là gôn Nhà, $G_1$ là gôn 1, $G_2$ là gôn 2, $G_3$ là gôn 3.
  • Tứ giác $HG_1G_2G_3$ là hình vuông cạnh $a = 27,4$ m.
  • $P$ nằm trên đoạn $HG_2$ (đường chéo), với $HP = 18,44$ m.
  • Vì $HG_2$ là đường chéo hình vuông nên $\widehat{PHG_1} = \widehat{PHG_3} = 45^\circ$.

Tính khoảng cách từ $P$ đến gôn 1 ($PG_1$)

Xét tam giác $HPG_1$ có:

  • $HG_1 = 27,4$ m (cạnh hình vuông).
  • $HP = 18,44$ m.
  • Góc xen giữa $\widehat{PHG_1} = 45^\circ$.

Áp dụng định lý Cosin:

$$PG_1^2 = HP^2 + HG_1^2 – 2 \cdot HP \cdot HG_1 \cdot \cos(45^\circ)$$

$$PG_1^2 = (18,44)^2 + (27,4)^2 – 2 \cdot 18,44 \cdot 27,4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$PG_1^2 \approx 340,03 + 750,76 – 714,56 \approx 376,23$$

$$\Rightarrow PG_1 = \sqrt{376,23} \approx 19,4 \text{ (m)}$$

Tính khoảng cách từ $P$ đến gôn 3 ($PG_3$)

Do tính chất đối xứng của hình vuông qua đường chéo $HG_2$, ta có tam giác $HPG_1$ và tam giác $HPG_3$ bằng nhau (cạnh – góc – cạnh).

$$\Rightarrow PG_3 = PG_1 \approx 19,4 \text{ (m)}$$

Đáp số: Khoảng cách từ vị trí ném bóng tới gôn 1 và gôn 3 đều xấp xỉ 19,4 m.

Giải bài tập 3.18. SGK trang 44 – TOÁN 10

posted on

Bài 3.18: Trên biển, tàu $B$ ở vị trí cách tàu $A$ một khoảng $53$ km về hướng $N34^\circ E$. Tàu $B$ bắt đầu chuyển động thẳng đều với vận tốc $v_B = 30$ km/h về hướng Đông. Cùng lúc đó, tàu $A$ chuyển động thẳng đều với vận tốc $v_A = 50$ km/h để đuổi kịp tàu $B$. Giả sử hai tàu gặp nhau tại điểm $C$.

  • a) Hỏi tàu $A$ cần phải chuyển động theo hướng nào (xác định góc $\alpha = \widehat{BAC}$)?
  • b) Sau bao lâu thì tàu $A$ đuổi kịp tàu $B$?

Giải

a) Xác định hướng chuyển động của tàu $A$

Tính góc $\widehat{ABC}$

Hướng của tàu $B$ so với tàu $A$ là $N34^\circ E$, nghĩa là góc hợp bởi hướng Bắc và $AB$ là $34^\circ$.

Tàu $B$ đi về hướng Đông (vuông góc với hướng Bắc).

Dựa vào hình vẽ 3.20, góc $\widehat{ABC}$ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh $B$ so với hướng Đông. Ta có góc hợp bởi $AB$ và hướng Tây là $90^\circ – 34^\circ = 56^\circ$.

Vì tàu $B$ đi về hướng Đông, góc $\widehat{ABC} = 180^\circ – 56^\circ = 124^\circ$.

Sử dụng định lý Sin tìm góc $\alpha$

Xét tam giác $ABC$, ta có:

$$\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}} = \frac{AC}{\sin \widehat{ABC}} \iff \frac{30t}{\sin \alpha} = \frac{50t}{\sin 124^\circ}$$

Rút gọn $t$ ở cả hai vế (vì $t > 0$):

$$\frac{30}{\sin \alpha} = \frac{50}{\sin 124^\circ} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{30 \cdot \sin 124^\circ}{50}$$

$$\sin \alpha \approx \frac{30 \cdot 0,829}{50} \approx 0,4974$$

$$\Rightarrow \alpha \approx 29,83^\circ \text{ (hoặc xấp xỉ } 30^\circ\text{)}$$

Trả lời: Tàu $A$ cần chuyển động theo hướng tạo với $AB$ một góc $\alpha \approx 29,83^\circ$ về phía Đông.

b) Thời gian tàu $A$ đuổi kịp tàu $B$

Tính góc $\widehat{ACB}$

Tổng ba góc trong tam giác bằng $180^\circ$:

$$\widehat{ACB} = 180^\circ – (\widehat{ABC} + \alpha) = 180^\circ – (124^\circ + 29,83^\circ) = 26,17^\circ$$

Tính thời gian $t$

Áp dụng định lý Sin cho cặp cạnh $AB$ và $AC$:

$$\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}} = \frac{AC}{\sin \widehat{ABC}} \iff \frac{53}{\sin 26,17^\circ} = \frac{50t}{\sin 124^\circ}$$

$$50t = \frac{53 \cdot \sin 124^\circ}{\sin 26,17^\circ}$$

$$50t \approx \frac{53 \cdot 0,829}{0,441} \approx 99,62$$

$$t \approx \frac{99,62}{50} \approx 1,99 \text{ (giờ)}$$

Trả lời: Sau khoảng 2 giờ thì tàu $A$ sẽ đuổi kịp tàu $B$.

Giải bài tập 3.17. SGK trang 44 – TOÁN 10

posted on

Bài 3.17: Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $BC = a, AC = b, AB = c$. Chứng minh rằng:

  • a) Nếu góc $A$ nhọn thì $b^2 + c^2 > a^2$;
  • b) Nếu góc $A$ tù thì $b^2 + c^2 < a^2$;
  • c) Nếu góc $A$ vuông thì $b^2 + c^2 = a^2$.

Giải

Áp dụng định lý Cosin cho tam giác $ABC$, ta luôn có:

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cdot \cos A \iff b^2 + c^2 – a^2 = 2bc \cdot \cos A$$

a) Trường hợp góc $A$ nhọn

Nếu góc $A$ nhọn ($A < 90^\circ$) thì $\cos A > 0$.

Vì $2bc > 0$ và $\cos A > 0$ nên $2bc \cdot \cos A > 0$.

$$\Rightarrow b^2 + c^2 – a^2 > 0$$

$$\Rightarrow b^2 + c^2 > a^2 \text{ (Đpcm)}$$

b) Trường hợp góc $A$ tù

Nếu góc $A$ tù ($A > 90^\circ$) thì $\cos A < 0$.

Vì $2bc > 0$ và $\cos A < 0$ nên $2bc \cdot \cos A < 0$.

$$\Rightarrow b^2 + c^2 – a^2 < 0$$

$$\Rightarrow b^2 + c^2 < a^2 \text{ (Đpcm)}$$

c) Trường hợp góc $A$ vuông

Nếu góc $A$ vuông ($A = 90^\circ$) thì $\cos A = \cos 90^\circ = 0$.

Khi đó: $2bc \cdot \cos A = 2bc \cdot 0 = 0$.

$$\Rightarrow b^2 + c^2 – a^2 = 0$$

$$\Rightarrow b^2 + c^2 = a^2 \text{ (Đây chính là định lý Pythagoras)}$$

Giải bài tập 3.16. SGK trang 44 – TOÁN 10

posted on

Bài 3.16: Cho tam giác $ABC$ có $AM$ là đường trung tuyến (với $M$ là trung điểm của $BC$). Chứng minh rằng:

a) $\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0$

b) $MA^2 + MB^2 – AB^2 = 2MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB}$ và $MA^2 + MC^2 – AC^2 = 2MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}$

c) $MA^2 = \frac{2(AB^2 + AC^2) – BC^2}{4}$ (Công thức đường trung tuyến)

Giải

a) Chứng minh $\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0$

Vì $M$ nằm trên đoạn thẳng $BC$ nên hai góc $\widehat{AMB}$ và $\widehat{AMC}$ là hai góc kề bù.

$$\Rightarrow \widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180^\circ$$

Theo tính chất lượng giác của hai góc bù nhau:

$$\cos \widehat{AMC} = \cos(180^\circ – \widehat{AMB}) = -\cos \widehat{AMB}$$

$$\Rightarrow \cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0 \text{ (Đpcm)}$$

b) Chứng minh các hệ thức về bình phương cạnh

Áp dụng định lý Cosin cho:

Tam giác $AMB$: $AB^2 = MA^2 + MB^2 – 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB}$

Chuyển vế ta được: $MA^2 + MB^2 – AB^2 = 2MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB}$

Tam giác $AMC$: $AC^2 = MA^2 + MC^2 – 2 \cdot MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}$

Chuyển vế ta được: $MA^2 + MC^2 – AC^2 = 2MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}$

c) Chứng minh công thức đường trung tuyến

Từ câu (b), ta có hai đẳng thức. Hãy cộng chúng lại với nhau:

$$(MA^2 + MB^2 – AB^2) + (MA^2 + MC^2 – AC^2) = 2MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB} + 2MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}$$

Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $MB = MC = \frac{BC}{2}$.

Thay vào:

$$2MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB} + 2MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC} = 2MA \cdot MB \cdot (\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC})$$

Theo kết quả câu (a), $\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0$

Do đó,

$2MA \cdot MB \cdot (\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC}) = 0$.

Khi đó:

$$2MA^2 + MB^2 + MC^2 – (AB^2 + AC^2) = 0$$

$$2MA^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = AB^2 + AC^2$$

$$2MA^2 + \frac{BC^2}{4} + \frac{BC^2}{4} = AB^2 + AC^2$$

$$2MA^2 + \frac{BC^2}{2} = AB^2 + AC^2$$

Nhân cả hai vế với 2:

$$4MA^2 + BC^2 = 2(AB^2 + AC^2)$$

$$\Rightarrow 4MA^2 = 2(AB^2 + AC^2) – BC^2$$

$$\Rightarrow MA^2 = \frac{2(AB^2 + AC^2) – BC^2}{4} \text{ (Đpcm)}$$

Giải bài tập 3.11. SGK trang 43 – TOÁN 10

posted on

Bài 3.11: Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng qua các điểm $A, B, C, D$ như Hình 3.19. Người ta dự định làm một đường hầm thẳng nối từ $A$ đến $D$ để rút ngắn khoảng cách.

Cho biết:

  • $AB = 8$ km, $BC = 6$ km, $CD = 12$ km.
  • Góc $\widehat{ABC} = 105^\circ$, góc $\widehat{BCD} = 135^\circ$.

Hỏi: Độ dài đường mới ($AD$) sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ ($AB + BC + CD$)?

Giải

Tính độ dài đường cũ

Độ dài đường cũ là:

$$S_1 = AB + BC + CD = 8 + 6 + 12 = 26 \text{ (km)}$$

Tính độ dài đường chéo $AC$

Xét tam giác $ABC$, áp dụng định lý Cosin:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\widehat{ABC})$$

$$AC^2 = 8^2 + 6^2 – 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(105^\circ)$$

$$AC^2 = 64 + 36 – 96 \cdot \cos(105^\circ) \approx 124,85$$

$$\Rightarrow AC \approx 11,17 \text{ (km)}$$

Tính góc $\widehat{ACB}$

Áp dụng định lý Cosin để tìm góc:

$$\cos(\widehat{ACB}) = \frac{BC^2 + AC^2 – AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC} = \frac{6^2 + 124,85 – 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 11,17} \approx 0,723$$

$$\Rightarrow \widehat{ACB} \approx 43,7^\circ$$

Tính góc $\widehat{ACD}$

Ta có: $\widehat{ACD} = \widehat{BCD} – \widehat{ACB} = 135^\circ – 43,7^\circ = 91,3^\circ$

Tính độ dài đường hầm $AD$

Xét tam giác $ACD$, áp dụng định lý Cosin:

$$AD^2 = AC^2 + CD^2 – 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(\widehat{ACD})$$

$$AD^2 = 124,85 + 12^2 – 2 \cdot 11,17 \cdot 12 \cdot \cos(91,3^\circ)$$

$$AD^2 \approx 124,85 + 144 – 268,08 \cdot (-0,0227) \approx 274,93$$

$$\Rightarrow AD \approx 16,58 \text{ (km)}$$

Tính khoảng cách giảm được

Độ dài quãng đường giảm được là:

$$\Delta S = S_1 – AD = 26 – 16,58 = 9,42 \text{ (km)}$$

Đáp số: Quãng đường mới giảm khoảng 9,42 km so với đường cũ.