Blog

Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao $5\text{ m}$ (đoạn $BC = 5\text{ m}$). Từ một vị trí quan sát $A$ cao $7\text{ m}$ so với mặt đất, người ta nhìn thấy đỉnh $B$ của cột với góc nâng $50^\circ$ và chân $C$ của cột với góc nâng $40^\circ$ so với phương nằm ngang.

Giải

a) Tính các góc của tam giác $ABC$

Gọi $Ax$ là đường nằm ngang đi qua $A$. Theo đề bài: $\widehat{xAB} = 50^\circ$ và $\widehat{xAC} = 40^\circ$.

• Góc $\widehat{BAC}$:$$\widehat{BAC} = \widehat{xAB} – \widehat{xAC} = 50^\circ – 40^\circ = 10^\circ$$
• Góc $\widehat{ABC}$:Trong tam giác vuông tạo bởi $B$ và đường nằm ngang $Ax$ (gọi hình chiếu của $B$ lên $Ax$ là $H$), ta có $\widehat{ABH} = 90^\circ – 50^\circ = 40^\circ$.Vì cột ăng-ten $BC$ thẳng đứng nên nó vuông góc với $Ax$. Suy ra $\widehat{ABC} = 90^\circ – 50^\circ = \mathbf{40^\circ}$.
• Góc $\widehat{ACB}$:$$\widehat{ACB} = 180^\circ – (\widehat{BAC} + \widehat{ABC}) = 180^\circ – (10^\circ + 40^\circ) = \mathbf{130^\circ}$$

b) Tính chiều cao của tòa nhà

Tính cạnh $AC$

Áp dụng định lý Sin trong tam giác $ABC$:

$$\frac{BC}{\sin(\widehat{BAC})} = \frac{AC}{\sin(\widehat{ABC})} \Rightarrow \frac{5}{\sin(10^\circ)} = \frac{AC}{\sin(40^\circ)}$$

$$AC = \frac{5 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(10^\circ)} \approx \frac{5 \cdot 0,6428}{0,1736} \approx 18,51 \text{ (m)}$$

Tính độ cao của điểm $C$ so với vị trí $A$

Gọi $CH$ là khoảng cách thẳng đứng từ $C$ đến đường nằm ngang $Ax$. Trong tam giác vuông $ACH$ tại $H$:

$$CH = AC \cdot \sin(\widehat{xAC}) = 18,51 \cdot \sin(40^\circ) \approx 18,51 \cdot 0,6428 \approx 11,9 \text{ (m)}$$

Chiều cao tòa nhà

Chiều cao tòa nhà là tổng độ cao của vị trí $A$ so với mặt đất và độ cao chênh lệch $CH$:

$$h = 7 + CH = 7 + 11,9 = \mathbf{18,9 \text{ (m)}}$$

Bài 3.8: Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng $A$, đi theo hướng $S70^\circ E$ với vận tốc $70 \text{ km/h}$. Sau khi đi được 90 phút, động cơ tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng Nam với vận tốc $8 \text{ km/h}$. Sau 2 giờ kể từ khi hỏng động cơ, tàu neo đậu được vào một hòn đảo (gọi là đảo $C$).

Giải

a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo ($AC$)

Áp dụng định lý Côsin trong tam giác $ABC$:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\hat{B})$$

$$AC^2 = 105^2 + 16^2 – 2 \cdot 105 \cdot 16 \cdot \cos(110^\circ)$$

$$AC^2 = 11025 + 256 – 3360 \cdot (-0,342)$$

$$AC^2 \approx 11281 + 1149,12 = 12430,12$$

$$\Rightarrow AC \approx \sqrt{12430,12} \approx \mathbf{111,49 \text{ (km)}}$$

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo

Ta cần tìm góc $\widehat{SAC}$ (góc hợp bởi $AC$ và trục Bắc-Nam). Gọi $\alpha$ là góc $\widehat{BAC}$.

Áp dụng định lý Sin:

$$\frac{BC}{\sin(\hat{A})} = \frac{AC}{\sin(\hat{B})} \Rightarrow \sin(\hat{A}) = \frac{16 \cdot \sin(110^\circ)}{111,49}$$

$$\sin(\hat{A}) \approx \frac{16 \cdot 0,9397}{111,49} \approx 0,1348$$

$$\Rightarrow \hat{A} \approx 7,7^\circ$$

Xác định hướng:

• Hướng $AB$ lệch so với hướng Nam $70^\circ$ về phía Đông.
• Vì tàu trôi thêm về hướng Nam, nên tia $AC$ sẽ nằm “giữa” tia $AB$ và tia hướng Nam.
• Góc của $AC$ so với hướng Nam là: $70^\circ – 7,7^\circ = 62,3^\circ$.
• Kết luận: Hướng từ $A$ đến đảo là $S62,3^\circ E$.

Vận dụng 3: Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác $ABCDE$ như Hình 3.17. Các khoảng cách giữa các đỉnh được xác định như sau:

Giải

Tính diện tích $\triangle BCD$

Cạnh $BC=575, CD=441, DB=538$.

Nửa chu vi $p_1 = \frac{575 + 441 + 538}{2} = 777 \text{ (m)}$.

$S_{BCD} = \sqrt{777(777-575)(777-441)(777-538)} \approx 112.385,6 \text{ (m}^2\text{)}$.

Tính diện tích $\triangle BDE$

Cạnh $BD=538, DE=217, EB=476$.

Nửa chu vi $p_2 = \frac{538 + 217 + 476}{2} = 615,5 \text{ (m)}$.

$S_{BDE} = \sqrt{615,5(615,5-538)(615,5-217)(615,5-476)} \approx 51.495,1 \text{ (m}^2\text{)}$.

Tính diện tích $\triangle ABE$

Cạnh $AB=256, BE=476, EA=401$.

Nửa chu vi $p_3 = \frac{256 + 476 + 401}{2} = 566,5 \text{ (m)}$.

$S_{ABE} = \sqrt{566,5(566,5-256)(566,5-476)(566,5-401)} \approx 51.327,1 \text{ (m}^2\text{)}$.

Tổng diện tích công viên

$$S_{ABCDE} = S_{BCD} + S_{BDE} + S_{ABE}$$

$$S_{ABCDE} \approx 112.385,6 + 51.495,1 + 51.327,1 = 215.207,8 \text{ (m}^2\text{)}$$

Kết luận: Diện tích công viên Hòa Bình khoảng

$215.208 \text{ m}^2$.

Thảo luận: Ta đã biết cách tính $\cos A$ theo độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ thông qua định lý côsin. Liệu $\sin A$ và diện tích $S$ có tính được trực tiếp theo độ dài các cạnh $a, b, c$ của tam giác $ABC$ hay không?

Giải

Xuất phát từ diện tích theo $\sin$

Ta đã biết diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S = \frac{1}{2}bc \sin A$$

Để mất $\sin A$, ta bình phương hai vế:

$$S^2 = \frac{1}{4}b^2c^2 \sin^2 A$$

Sử dụng công thức $\sin^2 A = 1 – \cos^2 A$:

$$S^2 = \frac{1}{4}b^2c^2 (1 – \cos^2 A) = \frac{1}{4}b^2c^2 (1 – \cos A)(1 + \cos A) \quad (1)$$

Thay định lý Côsin vào

Theo định lý Côsin: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$. Thay vào $(1)$:

$$S^2 = \frac{1}{4}b^2c^2 \left( 1 – \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \right) \left( 1 + \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \right)$$

Quy đồng mẫu số bên trong các ngoặc:

$$S^2 = \frac{1}{4}b^2c^2 \left( \frac{2bc – b^2 – c^2 + a^2}{2bc} \right) \left( \frac{2bc + b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \right)$$

Sử dụng hằng đẳng thức để nhóm nhân tử

Rút gọn $b^2c^2$ ở tử và mẫu ($2bc \cdot 2bc = 4b^2c^2$):

$$S^2 = \frac{1}{16} [a^2 – (b – c)^2] [(b + c)^2 – a^2]$$

Tiếp tục dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $X^2 – Y^2 = (X-Y)(X+Y)$:

$$S^2 = \frac{1}{16} (a – b + c)(a + b – c)(b + c – a)(b + c + a)$$

Biểu diễn qua nửa chu vi $p$

Đặt $a + b + c = 2p$. Khi đó:

• $b + c + a = 2p$
• $b + c – a = (a + b + c) – 2a = 2p – 2a = 2(p – a)$
• $a + c – b = (a + b + c) – 2b = 2p – 2b = 2(p – b)$
• $a + b – c = (a + b + c) – 2c = 2p – 2c = 2(p – c)$

Thay các biểu thức này vào công thức $S^2$:

$$S^2 = \frac{1}{16} \cdot 2(p-b) \cdot 2(p-c) \cdot 2(p-a) \cdot 2p$$

$$S^2 = \frac{16}{16} \cdot p(p-a)(p-b)(p-c)$$

$$S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)$$

Kết luận: Lấy căn bậc hai hai vế, ta được điều phải chứng minh:

$$S = \sqrt{p(p – a)(p – b)(p – c)}$$

Hoạt động 5 (HĐ5): Cho tam giác $ABC$ có đường cao $BD$.

• a) Biểu thị $BD$ theo $AB$ và $\sin A$.
• b) Viết công thức tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$ theo $b, c, \sin A$.

Giải

a) Biểu thị $BD$ theo $AB$ và $\sin A$:

Trường hợp 1: Góc $A$ nhọn (Hình 3.14 bên trái)

Xét tam giác $ABD$ vuông tại $D$, ta có:$$\sin A = \frac{BD}{AB} \implies BD = AB \cdot \sin A$$

Trường hợp 2: Góc $A$ tù (Hình 3.14 bên phải)

Xét tam giác $ABD$ vuông tại $D$, ta có $\widehat{DAB}$ là góc kề bù với góc $A$ của tam giác $ABC$. Khi đó:$$BD = AB \cdot \sin(\widehat{DAB}) = AB \cdot \sin(180^\circ – \widehat{A})$$Vì $\sin(180^\circ – \alpha) = \sin \alpha$, nên ta vẫn có:$$BD = AB \cdot \sin A$$

b) Viết công thức tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$ theo $b, c, \sin A$:

Ta có diện tích tam giác $ABC$ với đáy là $AC$ và đường cao tương ứng là $BD$:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$$

Thay $AC = b$, $AB = c$ và $BD = c \cdot \sin A$ (từ câu a) vào công thức trên, ta được:

$$S = \frac{1}{2} bc \sin A$$

Hoạt động 4 (HĐ4): Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp, và độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh $A, B, C$ lần lượt là $a, b, c$.

Giải

a) Mối liên hệ giữa các diện tích:

Tâm $I$ nằm bên trong tam giác $ABC$. Khi nối $I$ với các đỉnh $A, B, C$, tam giác $ABC$ được chia thành 3 tam giác riêng biệt là $\triangle IBC, \triangle ICA$ và $\triangle IAB$.

Do đó, diện tích tam giác $ABC$ (ký hiệu là $S$) bằng tổng diện tích của 3 tam giác này:

$$S_{ABC} = S_{IBC} + S_{ICA} + S_{IAB}$$

b) Tính diện tích tam giác $ABC$ theo $r, a, b, c$:

• Trong $\triangle IBC$, đường cao hạ từ $I$ xuống cạnh $BC$ chính là bán kính $r$. Vậy: $S_{IBC} = \frac{1}{2}ar$.
• Tương tự, trong $\triangle ICA$, đường cao hạ từ $I$ xuống $AC$ là $r$. Vậy: $S_{ICA} = \frac{1}{2}br$.
• Trong $\triangle IAB$, đường cao hạ từ $I$ xuống $AB$ là $r$. Vậy: $S_{IAB} = \frac{1}{2}cr$.

Cộng tất cả lại, ta có:

$$S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr$$

$$S = \frac{(a + b + c) \cdot r}{2}$$

Nếu đặt $p = \frac{a + b + c}{2}$ (nửa chu vi), ta được công thức thu gọn: $S = pr$.

Giả sử hai đỉnh núi là điểm $M$ và $N$. Chúng ta cần tính độ dài đoạn $MN$.

Bước 1: Thiết lập các điểm đo đạc

• Chọn hai điểm mốc $A$ và $B$ dưới mặt đất sao cho từ $A$ và $B$ có thể nhìn thấy cả hai đỉnh núi $M$ và $N$.
• Dùng thước dây hoặc máy đo khoảng cách laser để đo độ dài đoạn $AB = c$.

Bước 2: Đo các góc

Dùng giác kế (máy đo góc) để đo các góc tại $A$ và $B$:

• Tại $A$, đo góc: $\widehat{MAN} = \alpha$ và $\widehat{NAB} = \beta$. (Suy ra $\widehat{MAB} = \alpha + \beta$).
• Tại $B$, đo góc: $\widehat{MBN} = \gamma$ và $\widehat{NBA} = \delta$. (Suy ra $\widehat{MBA} = \gamma + \delta$).

Bước 3: Tính toán các cạnh trung gian

1. Xét tam giác $ABM$: Biết cạnh $AB$ và hai góc $\widehat{MAB}, \widehat{MBA}$. Tính được góc còn lại và dùng định lý Sin để tính cạnh $AM$.
2. Xét tam giác $ABN$: Biết cạnh $AB$ và hai góc $\widehat{NAB}, \widehat{NBA}$. Dùng định lý Sin để tính cạnh $AN$.

Bước 4: Tính khoảng cách giữa hai đỉnh núi ($MN$)

• Xét tam giác $AMN$: Lúc này ta đã biết cạnh $AM$, cạnh $AN$ và góc xen giữa $\widehat{MAN} = \alpha$.
• Áp dụng định lý Cosin:$$MN = \sqrt{AM^2 + AN^2 – 2 \cdot AM \cdot AN \cdot \cos \alpha}$$

Kết luận: Khoảng cách $MN$ chính là giá trị cần tìm.

Định lí sin

Trong tam giác $ABC$, với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta luôn có hệ thức:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

Trong đó:

• $a, b, c$ lần lượt là độ dài của các cạnh đối diện với các góc $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$.
• $R$ là bán kính của đường tròn đi qua ba đỉnh $A, B, C$ (đường tròn ngoại tiếp).

Giải

a) Trường hợp góc $\hat{A}$ nhọn

Ta có $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BMC}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BC$.
$\implies \widehat{BAC} = \widehat{BMC}$ (hay $\hat{A} = \hat{M}$).
$\implies \sin A = \sin M$.
Xét $\triangle BCM$ vuông tại $C$ (do $\widehat{BCM}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $BM = 2R$).
Trong tam giác vuông $BCM$, ta có:
$$\sin M = \frac{BC}{BM} = \frac{a}{2R}$$
Vì $\sin A = \sin M$, suy ra $\sin A = \frac{a}{2R}$.

Kết luận: $R = \frac{a}{2 \sin A}$.

b) Trường hợp góc $\hat{A}$ tù

Tứ giác $ABMC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, nên tổng hai góc đối diện bằng $180^\circ$:

$\widehat{BAC} + \widehat{BMC} = 180^\circ \implies \hat{M} = 180^\circ – \hat{A}$.

Theo tính chất lượng giác của hai góc bù nhau:

$\sin M = \sin(180^\circ – A) = \sin A$.

Xét $\triangle BCM$ vuông tại $C$ (do $\widehat{BCM}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $BM = 2R$).

Trong tam giác vuông $BCM$, ta có:

$$\sin M = \frac{BC}{BM} = \frac{a}{2R}$$

Vì $\sin A = \sin M$, suy ra $\sin A = \frac{a}{2R}$.

Kết luận: $R = \frac{a}{2 \sin A}$.

Định lý côsin

Trong tam giác $ABC$ bất kỳ với các cạnh $a, b, c$ tương ứng đối diện với các góc $A, B, C$:

• $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A$
• $b^2 = c^2 + a^2 – 2ca \cos B$
• $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C$

Định lý Pythagore chính là một trường hợp đặc biệt của Định lý côsin

Thật vậy,

Xét tam giác $ABC$ bất kỳ có các cạnh $a, b, c$ và góc $A$ đối diện với cạnh $a$. Theo Định lý côsin, ta luôn có:

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A$$

Nếu tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ (tức là góc $A = 90^\circ$):

1. Theo lý thuyết lượng giác, ta biết rằng $\cos 90^\circ = 0$.
2. Thay giá trị này vào công thức Định lý côsin:$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cdot 0$$$$a^2 = b^2 + c^2$$
3. Kết quả thu được chính là biểu thức của Định lý Pythagore (với $a$ là cạnh huyền, $b$ và $c$ là hai cạnh góc vuông).

Kết luận: Vậy Định lý Pythagore là trường hợp riêng của Định lý côsin khi góc xen giữa hai cạnh bằng $90^\circ$.

Trong Hình 3.8, thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính $a$ theo $b, c$ và giá trị lượng giác của góc $A$:

a) Tính $a^2$ theo $BD^2$ và $CD^2$.

b) Tính $a^2$ theo $b, c$ và $DA$.

c) Tính $DA$ theo $c$ và $\cos A$.

d) Chứng minh $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A$.

Giải

a) Tính $a^2$ theo $BD^2$ và $CD^2$:

Xét tam giác $BDC$ vuông tại $D$, theo định lý Pythagore:

$$a^2 = BC^2 = BD^2 + CD^2$$

b) Tính $a^2$ theo $b, c$ và $DA$:

Ta có: $CD = AC + AD = b + DA$.

Trong tam giác vuông $ABD$: $BD^2 = AB^2 – DA^2 = c^2 – DA^2$.

Thay vào biểu thức ở câu a:

$$a^2 = (c^2 – DA^2) + (b + DA)^2$$

$$a^2 = c^2 – DA^2 + b^2 + 2b \cdot DA + DA^2$$

$$a^2 = b^2 + c^2 + 2b \cdot DA$$

c) Tính $DA$ theo $c$ và $\cos A$:

Xét tam giác vuông $ABD$, góc $\widehat{DAB}$ kề bù với góc $A$ của tam giác $ABC$.

$\widehat{DAB} = 180^\circ – A$.

Trong tam giác vuông $ABD$: $DA = AB \cdot \cos(\widehat{DAB}) = c \cdot \cos(180^\circ – A)$.

Vì $\cos(180^\circ – A) = -\cos A$, nên: $DA = -c \cos A$.

d) Chứng minh hệ thức:

Thay $DA = -c \cos A$ vào biểu thức ở câu b:

$$a^2 = b^2 + c^2 + 2b(-c \cos A)$$

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A$$