Blog

Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được) bằng các dụng cụ đo góc và đo khoảng cách trên đất liền.

Giải

Bước 1: Thiết lập sơ đồ đo

• Gọi $C$ và $D$ là hai đầu mút của hòn đảo mà ta cần đo bề rộng.
• Trên bờ biển, chọn hai điểm $A$ và $B$ cách nhau một khoảng $d$ (khoảng cách $d$ này ta có thể đo trực tiếp bằng thước dây hoặc máy laser).

Bước 2: Tiến hành đo góc

Tại điểm $A$ và $B$, dùng giác kế đo các góc sau:

• Tại $A$: Đo góc $\widehat{CAB} = \alpha_1$ và $\widehat{DAB} = \alpha_2$.
• Tại $B$: Đo góc $\widehat{CBA} = \beta_1$ và $\widehat{DBA} = \beta_2$.

Bước 3: Tính toán các cạnh trung gian

• Xét tam giác $ABC$: Ta có góc $\widehat{ACB} = 180^\circ – (\alpha_1 + \beta_1)$.Áp dụng định lý Sin: $AC = \frac{AB \cdot \sin \beta_1}{\sin \widehat{ACB}}$.
• Xét tam giác $ABD$: Ta có góc $\widehat{ADB} = 180^\circ – (\alpha_2 + \beta_2)$.Áp dụng định lý Sin: $AD = \frac{AB \cdot \sin \beta_2}{\sin \widehat{ADB}}$.

Bước 4: Tính bề rộng hòn đảo ($CD$)

• Xét tam giác $ACD$: Ta đã biết cạnh $AC$, cạnh $AD$ và góc $\widehat{CAD} = |\alpha_1 – \alpha_2|$.
• Áp dụng định lý Côsin:$$CD = \sqrt{AC^2 + AD^2 – 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(\widehat{CAD})}$$

Kết luận: Giá trị $CD$ chính là bề rộng của hòn đảo cần xác định.

Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao $5\text{ m}$ (đoạn $BC = 5\text{ m}$). Từ một vị trí quan sát $A$ cao $7\text{ m}$ so với mặt đất, người ta nhìn thấy đỉnh $B$ của cột với góc nâng $50^\circ$ và chân $C$ của cột với góc nâng $40^\circ$ so với phương nằm ngang.

Giải

a) Tính các góc của tam giác $ABC$

Gọi $Ax$ là đường nằm ngang đi qua $A$. Theo đề bài: $\widehat{xAB} = 50^\circ$ và $\widehat{xAC} = 40^\circ$.

• Góc $\widehat{BAC}$:$$\widehat{BAC} = \widehat{xAB} – \widehat{xAC} = 50^\circ – 40^\circ = 10^\circ$$
• Góc $\widehat{ABC}$:Trong tam giác vuông tạo bởi $B$ và đường nằm ngang $Ax$ (gọi hình chiếu của $B$ lên $Ax$ là $H$), ta có $\widehat{ABH} = 90^\circ – 50^\circ = 40^\circ$.Vì cột ăng-ten $BC$ thẳng đứng nên nó vuông góc với $Ax$. Suy ra $\widehat{ABC} = 90^\circ – 50^\circ = \mathbf{40^\circ}$.
• Góc $\widehat{ACB}$:$$\widehat{ACB} = 180^\circ – (\widehat{BAC} + \widehat{ABC}) = 180^\circ – (10^\circ + 40^\circ) = \mathbf{130^\circ}$$

b) Tính chiều cao của tòa nhà

Tính cạnh $AC$

Áp dụng định lý Sin trong tam giác $ABC$:

$$\frac{BC}{\sin(\widehat{BAC})} = \frac{AC}{\sin(\widehat{ABC})} \Rightarrow \frac{5}{\sin(10^\circ)} = \frac{AC}{\sin(40^\circ)}$$

$$AC = \frac{5 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(10^\circ)} \approx \frac{5 \cdot 0,6428}{0,1736} \approx 18,51 \text{ (m)}$$

Tính độ cao của điểm $C$ so với vị trí $A$

Gọi $CH$ là khoảng cách thẳng đứng từ $C$ đến đường nằm ngang $Ax$. Trong tam giác vuông $ACH$ tại $H$:

$$CH = AC \cdot \sin(\widehat{xAC}) = 18,51 \cdot \sin(40^\circ) \approx 18,51 \cdot 0,6428 \approx 11,9 \text{ (m)}$$

Chiều cao tòa nhà

Chiều cao tòa nhà là tổng độ cao của vị trí $A$ so với mặt đất và độ cao chênh lệch $CH$:

$$h = 7 + CH = 7 + 11,9 = \mathbf{18,9 \text{ (m)}}$$

Bài 3.8: Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng $A$, đi theo hướng $S70^\circ E$ với vận tốc $70 \text{ km/h}$. Sau khi đi được 90 phút, động cơ tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng Nam với vận tốc $8 \text{ km/h}$. Sau 2 giờ kể từ khi hỏng động cơ, tàu neo đậu được vào một hòn đảo (gọi là đảo $C$).

Giải

a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo ($AC$)

Áp dụng định lý Côsin trong tam giác $ABC$:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\hat{B})$$

$$AC^2 = 105^2 + 16^2 – 2 \cdot 105 \cdot 16 \cdot \cos(110^\circ)$$

$$AC^2 = 11025 + 256 – 3360 \cdot (-0,342)$$

$$AC^2 \approx 11281 + 1149,12 = 12430,12$$

$$\Rightarrow AC \approx \sqrt{12430,12} \approx \mathbf{111,49 \text{ (km)}}$$

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo

Ta cần tìm góc $\widehat{SAC}$ (góc hợp bởi $AC$ và trục Bắc-Nam). Gọi $\alpha$ là góc $\widehat{BAC}$.

Áp dụng định lý Sin:

$$\frac{BC}{\sin(\hat{A})} = \frac{AC}{\sin(\hat{B})} \Rightarrow \sin(\hat{A}) = \frac{16 \cdot \sin(110^\circ)}{111,49}$$

$$\sin(\hat{A}) \approx \frac{16 \cdot 0,9397}{111,49} \approx 0,1348$$

$$\Rightarrow \hat{A} \approx 7,7^\circ$$

Xác định hướng:

• Hướng $AB$ lệch so với hướng Nam $70^\circ$ về phía Đông.
• Vì tàu trôi thêm về hướng Nam, nên tia $AC$ sẽ nằm “giữa” tia $AB$ và tia hướng Nam.
• Góc của $AC$ so với hướng Nam là: $70^\circ – 7,7^\circ = 62,3^\circ$.
• Kết luận: Hướng từ $A$ đến đảo là $S62,3^\circ E$.

Vận dụng 3: Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác $ABCDE$ như Hình 3.17. Các khoảng cách giữa các đỉnh được xác định như sau:

Giải

Tính diện tích $\triangle BCD$

Cạnh $BC=575, CD=441, DB=538$.

Nửa chu vi $p_1 = \frac{575 + 441 + 538}{2} = 777 \text{ (m)}$.

$S_{BCD} = \sqrt{777(777-575)(777-441)(777-538)} \approx 112.385,6 \text{ (m}^2\text{)}$.

Tính diện tích $\triangle BDE$

Cạnh $BD=538, DE=217, EB=476$.

Nửa chu vi $p_2 = \frac{538 + 217 + 476}{2} = 615,5 \text{ (m)}$.

$S_{BDE} = \sqrt{615,5(615,5-538)(615,5-217)(615,5-476)} \approx 51.495,1 \text{ (m}^2\text{)}$.

Tính diện tích $\triangle ABE$

Cạnh $AB=256, BE=476, EA=401$.

Nửa chu vi $p_3 = \frac{256 + 476 + 401}{2} = 566,5 \text{ (m)}$.

$S_{ABE} = \sqrt{566,5(566,5-256)(566,5-476)(566,5-401)} \approx 51.327,1 \text{ (m}^2\text{)}$.

Tổng diện tích công viên

$$S_{ABCDE} = S_{BCD} + S_{BDE} + S_{ABE}$$

$$S_{ABCDE} \approx 112.385,6 + 51.495,1 + 51.327,1 = 215.207,8 \text{ (m}^2\text{)}$$

Kết luận: Diện tích công viên Hòa Bình khoảng

$215.208 \text{ m}^2$.

Thảo luận: Ta đã biết cách tính $\cos A$ theo độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ thông qua định lý côsin. Liệu $\sin A$ và diện tích $S$ có tính được trực tiếp theo độ dài các cạnh $a, b, c$ của tam giác $ABC$ hay không?

Giải

Xuất phát từ diện tích theo $\sin$

Ta đã biết diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S = \frac{1}{2}bc \sin A$$

Để mất $\sin A$, ta bình phương hai vế:

$$S^2 = \frac{1}{4}b^2c^2 \sin^2 A$$

Sử dụng công thức $\sin^2 A = 1 – \cos^2 A$:

$$S^2 = \frac{1}{4}b^2c^2 (1 – \cos^2 A) = \frac{1}{4}b^2c^2 (1 – \cos A)(1 + \cos A) \quad (1)$$

Thay định lý Côsin vào

Theo định lý Côsin: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$. Thay vào $(1)$:

$$S^2 = \frac{1}{4}b^2c^2 \left( 1 – \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \right) \left( 1 + \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \right)$$

Quy đồng mẫu số bên trong các ngoặc:

$$S^2 = \frac{1}{4}b^2c^2 \left( \frac{2bc – b^2 – c^2 + a^2}{2bc} \right) \left( \frac{2bc + b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \right)$$

Sử dụng hằng đẳng thức để nhóm nhân tử

Rút gọn $b^2c^2$ ở tử và mẫu ($2bc \cdot 2bc = 4b^2c^2$):

$$S^2 = \frac{1}{16} [a^2 – (b – c)^2] [(b + c)^2 – a^2]$$

Tiếp tục dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $X^2 – Y^2 = (X-Y)(X+Y)$:

$$S^2 = \frac{1}{16} (a – b + c)(a + b – c)(b + c – a)(b + c + a)$$

Biểu diễn qua nửa chu vi $p$

Đặt $a + b + c = 2p$. Khi đó:

• $b + c + a = 2p$
• $b + c – a = (a + b + c) – 2a = 2p – 2a = 2(p – a)$
• $a + c – b = (a + b + c) – 2b = 2p – 2b = 2(p – b)$
• $a + b – c = (a + b + c) – 2c = 2p – 2c = 2(p – c)$

Thay các biểu thức này vào công thức $S^2$:

$$S^2 = \frac{1}{16} \cdot 2(p-b) \cdot 2(p-c) \cdot 2(p-a) \cdot 2p$$

$$S^2 = \frac{16}{16} \cdot p(p-a)(p-b)(p-c)$$

$$S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)$$

Kết luận: Lấy căn bậc hai hai vế, ta được điều phải chứng minh:

$$S = \sqrt{p(p – a)(p – b)(p – c)}$$

Hoạt động 5 (HĐ5): Cho tam giác $ABC$ có đường cao $BD$.

• a) Biểu thị $BD$ theo $AB$ và $\sin A$.
• b) Viết công thức tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$ theo $b, c, \sin A$.

Giải

a) Biểu thị $BD$ theo $AB$ và $\sin A$:

Trường hợp 1: Góc $A$ nhọn (Hình 3.14 bên trái)

Xét tam giác $ABD$ vuông tại $D$, ta có:$$\sin A = \frac{BD}{AB} \implies BD = AB \cdot \sin A$$

Trường hợp 2: Góc $A$ tù (Hình 3.14 bên phải)

Xét tam giác $ABD$ vuông tại $D$, ta có $\widehat{DAB}$ là góc kề bù với góc $A$ của tam giác $ABC$. Khi đó:$$BD = AB \cdot \sin(\widehat{DAB}) = AB \cdot \sin(180^\circ – \widehat{A})$$Vì $\sin(180^\circ – \alpha) = \sin \alpha$, nên ta vẫn có:$$BD = AB \cdot \sin A$$

b) Viết công thức tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$ theo $b, c, \sin A$:

Ta có diện tích tam giác $ABC$ với đáy là $AC$ và đường cao tương ứng là $BD$:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$$

Thay $AC = b$, $AB = c$ và $BD = c \cdot \sin A$ (từ câu a) vào công thức trên, ta được:

$$S = \frac{1}{2} bc \sin A$$

Hoạt động 4 (HĐ4): Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp, và độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh $A, B, C$ lần lượt là $a, b, c$.

Giải

a) Mối liên hệ giữa các diện tích:

Tâm $I$ nằm bên trong tam giác $ABC$. Khi nối $I$ với các đỉnh $A, B, C$, tam giác $ABC$ được chia thành 3 tam giác riêng biệt là $\triangle IBC, \triangle ICA$ và $\triangle IAB$.

Do đó, diện tích tam giác $ABC$ (ký hiệu là $S$) bằng tổng diện tích của 3 tam giác này:

$$S_{ABC} = S_{IBC} + S_{ICA} + S_{IAB}$$

b) Tính diện tích tam giác $ABC$ theo $r, a, b, c$:

• Trong $\triangle IBC$, đường cao hạ từ $I$ xuống cạnh $BC$ chính là bán kính $r$. Vậy: $S_{IBC} = \frac{1}{2}ar$.
• Tương tự, trong $\triangle ICA$, đường cao hạ từ $I$ xuống $AC$ là $r$. Vậy: $S_{ICA} = \frac{1}{2}br$.
• Trong $\triangle IAB$, đường cao hạ từ $I$ xuống $AB$ là $r$. Vậy: $S_{IAB} = \frac{1}{2}cr$.

Cộng tất cả lại, ta có:

$$S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr$$

$$S = \frac{(a + b + c) \cdot r}{2}$$

Nếu đặt $p = \frac{a + b + c}{2}$ (nửa chu vi), ta được công thức thu gọn: $S = pr$.

Giả sử hai đỉnh núi là điểm $M$ và $N$. Chúng ta cần tính độ dài đoạn $MN$.

Bước 1: Thiết lập các điểm đo đạc

• Chọn hai điểm mốc $A$ và $B$ dưới mặt đất sao cho từ $A$ và $B$ có thể nhìn thấy cả hai đỉnh núi $M$ và $N$.
• Dùng thước dây hoặc máy đo khoảng cách laser để đo độ dài đoạn $AB = c$.

Bước 2: Đo các góc

Dùng giác kế (máy đo góc) để đo các góc tại $A$ và $B$:

• Tại $A$, đo góc: $\widehat{MAN} = \alpha$ và $\widehat{NAB} = \beta$. (Suy ra $\widehat{MAB} = \alpha + \beta$).
• Tại $B$, đo góc: $\widehat{MBN} = \gamma$ và $\widehat{NBA} = \delta$. (Suy ra $\widehat{MBA} = \gamma + \delta$).

Bước 3: Tính toán các cạnh trung gian

1. Xét tam giác $ABM$: Biết cạnh $AB$ và hai góc $\widehat{MAB}, \widehat{MBA}$. Tính được góc còn lại và dùng định lý Sin để tính cạnh $AM$.
2. Xét tam giác $ABN$: Biết cạnh $AB$ và hai góc $\widehat{NAB}, \widehat{NBA}$. Dùng định lý Sin để tính cạnh $AN$.

Bước 4: Tính khoảng cách giữa hai đỉnh núi ($MN$)

• Xét tam giác $AMN$: Lúc này ta đã biết cạnh $AM$, cạnh $AN$ và góc xen giữa $\widehat{MAN} = \alpha$.
• Áp dụng định lý Cosin:$$MN = \sqrt{AM^2 + AN^2 – 2 \cdot AM \cdot AN \cdot \cos \alpha}$$

Kết luận: Khoảng cách $MN$ chính là giá trị cần tìm.

Định lí sin

Trong tam giác $ABC$, với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta luôn có hệ thức:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

Trong đó:

• $a, b, c$ lần lượt là độ dài của các cạnh đối diện với các góc $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$.
• $R$ là bán kính của đường tròn đi qua ba đỉnh $A, B, C$ (đường tròn ngoại tiếp).

Giải

a) Trường hợp góc $\hat{A}$ nhọn

Ta có $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BMC}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BC$.
$\implies \widehat{BAC} = \widehat{BMC}$ (hay $\hat{A} = \hat{M}$).
$\implies \sin A = \sin M$.
Xét $\triangle BCM$ vuông tại $C$ (do $\widehat{BCM}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $BM = 2R$).
Trong tam giác vuông $BCM$, ta có:
$$\sin M = \frac{BC}{BM} = \frac{a}{2R}$$
Vì $\sin A = \sin M$, suy ra $\sin A = \frac{a}{2R}$.

Kết luận: $R = \frac{a}{2 \sin A}$.

b) Trường hợp góc $\hat{A}$ tù

Tứ giác $ABMC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, nên tổng hai góc đối diện bằng $180^\circ$:

$\widehat{BAC} + \widehat{BMC} = 180^\circ \implies \hat{M} = 180^\circ – \hat{A}$.

Theo tính chất lượng giác của hai góc bù nhau:

$\sin M = \sin(180^\circ – A) = \sin A$.

Xét $\triangle BCM$ vuông tại $C$ (do $\widehat{BCM}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $BM = 2R$).

Trong tam giác vuông $BCM$, ta có:

$$\sin M = \frac{BC}{BM} = \frac{a}{2R}$$

Vì $\sin A = \sin M$, suy ra $\sin A = \frac{a}{2R}$.

Kết luận: $R = \frac{a}{2 \sin A}$.

Định lý côsin

Trong tam giác $ABC$ bất kỳ với các cạnh $a, b, c$ tương ứng đối diện với các góc $A, B, C$:

• $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A$
• $b^2 = c^2 + a^2 – 2ca \cos B$
• $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C$

Định lý Pythagore chính là một trường hợp đặc biệt của Định lý côsin

Thật vậy,

Xét tam giác $ABC$ bất kỳ có các cạnh $a, b, c$ và góc $A$ đối diện với cạnh $a$. Theo Định lý côsin, ta luôn có:

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A$$

Nếu tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ (tức là góc $A = 90^\circ$):

1. Theo lý thuyết lượng giác, ta biết rằng $\cos 90^\circ = 0$.
2. Thay giá trị này vào công thức Định lý côsin:$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cdot 0$$$$a^2 = b^2 + c^2$$
3. Kết quả thu được chính là biểu thức của Định lý Pythagore (với $a$ là cạnh huyền, $b$ và $c$ là hai cạnh góc vuông).

Kết luận: Vậy Định lý Pythagore là trường hợp riêng của Định lý côsin khi góc xen giữa hai cạnh bằng $90^\circ$.