Nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = M$;
Chứng minh $\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$.
Giải
Ta cần chứng minh:
Với mọi $\epsilon > 0$, tồn tại $\delta > 0$ sao cho nếu $0 < |x – x_0| < \delta$ thì $|f(x)g(x) – LM| < \epsilon$.
Sử dụng kỹ thuật thêm bớt hạng tử trung gian $f(x)M$:
$$|f(x)g(x) – LM| = |f(x)g(x) – f(x)M + f(x)M – LM|$$
Áp dụng bất đẳng thức tam giác $|A + B| \leq |A| + |B|$:
$$|f(x)g(x) – LM| \leq |f(x)| \cdot |g(x) – M| + |M| \cdot |f(x) – L| \quad (*)$$
Chặn hàm số $f(x)$
Vì $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$, nên với sai số $\epsilon_1 = 1$, luôn tồn tại $\delta_1 > 0$ sao cho khi $0 < |x – x_0| < \delta_1$ thì:
$$|f(x) – L| < 1 \implies |f(x)| < |L| + 1$$
Đặt $K = \max(|L| + 1, |M|)$. Khi đó, $|f(x)|$ và $|M|$ đều bị chặn bởi $K$.
Kiểm soát các sai số thành phần
Với mọi $\epsilon > 0$ cho trước, ta chọn:
- $\delta_2 > 0$ sao cho nếu $0 < |x – x_0| < \delta_2$ thì $|f(x) – L| < \frac{\epsilon}{2K}$.
- $\delta_3 > 0$ sao cho nếu $0 < |x – x_0| < \delta_3$ thì $|g(x) – M| < \frac{\epsilon}{2K}$.
Tổng hợp kết quả
Chọn $\delta = \min(\delta_1, \delta_2, \delta_3)$. Khi đó, với mọi $x$ thỏa mãn $0 < |x – x_0| < \delta$, thay vào biểu thức $(*)$ ta có:
$$|f(x)g(x) – LM| \leq |f(x)| \cdot |g(x) – M| + |M| \cdot |f(x) – L|$$
$$< K \cdot \frac{\epsilon}{2K} + K \cdot \frac{\epsilon}{2K}$$
$$= \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$
Kết luận
Vậy theo định nghĩa Weierstrass, ta có:
$$\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$$