Blog

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 88 đến 90:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ lên mặt đáy $(ABCD)$ là trung điểm của $AB$. Biết $SH = a$.

Câu 88: Thể tích hình chóp $S.BHD$ là:

• A. $\frac{1}{6}a^3$
• B. $\frac{1}{12}a^3$
• C. $\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$
• D. $\frac{\sqrt{3}}{12}a^3$

Câu 89: Chu vi tam giác $SBD$ là:

• A. $\frac{2\sqrt{2} + 3 + \sqrt{5}}{2}a$
• B. $\frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}a$
• C. $\frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}}{2}a$
• D. $\frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 5}{2}a$

Câu 90: Khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $(SBD)$ xấp xỉ:

• A. $0,5a$
• B. $0,66a$
• C. $0,33a$
• D. $0,25a$

---

Câu 88: Thể tích hình chóp $S.BHD$ là:

• A. $\frac{1}{6}a^3$
• B. $\frac{1}{12}a^3$
• C. $\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$
• D. $\frac{\sqrt{3}}{12}a^3$

Phân tích đề bài

• Chiều cao khối chóp: Theo đề bài, $H$ là hình chiếu của $S$ lên đáy, nên $SH \perp (ABCD)$. Vậy chiều cao $h = SH = a$.
• Đáy của khối chóp $S.BHD$: Là tam giác $BHD$ nằm trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$.

---

Các bước giải chi tiết

1. Tính diện tích tam giác $BHD$:

Tam giác $BHD$ nằm trên hình vuông $ABCD$ cạnh $a$.

• Vì $H$ là trung điểm của $AB$ nên $BH = \frac{a}{2}$.
• Trong hình vuông $ABCD$, cạnh $AD \perp AB$, do đó chiều cao của tam giác $BHD$ hạ từ đỉnh $D$ xuống đường thẳng $AB$ chính bằng độ dài cạnh hình vuông, tức là $AD = a$.

Diện tích tam giác $BHD$ là:

$$S_{\triangle BHD} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot a = \frac{a^2}{4}$$

2. Tính thể tích khối chóp $S.BHD$:

Công thức tính thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3} \cdot S_{đáy} \cdot h$.

Thay các giá trị đã tìm được vào:

$$V_{S.BHD} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle BHD} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{4} \cdot a = \frac{a^3}{12}$$

---

Kết luận

Đối chiếu với các phương án đề bài đưa ra:

• Đáp án đúng là: B. $\frac{1}{12}a^3$

---

Câu 89: Chu vi tam giác $SBD$ là:

• A. $\frac{2\sqrt{2} + 3 + \sqrt{5}}{2}a$
• B. $\frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}a$
• C. $\frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}}{2}a$
• D. $\frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 5}{2}a$

1. Tính độ dài cạnh $BD$ (Đường chéo hình vuông)

Trong hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, độ dài đường chéo $BD$ được tính theo công thức:

$$BD = a\sqrt{2}$$

2. Tính độ dài cạnh $SB$

Xét tam giác vuông $SHB$ (vuông tại $H$ vì $SH \perp (ABCD)$):

• $SH = a$ (giả thiết)
• $HB = \frac{a}{2}$ ($H$ là trung điểm $AB$)

Áp dụng định lý Pythagoras:

$$SB = \sqrt{SH^2 + HB^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$$

3. Tính độ dài cạnh $SD$

Xét tam giác vuông $SHD$ (vuông tại $H$):

• $SH = a$
• Để tính $HD$, ta xét tam giác vuông $AHD$ (vuông tại $A$):
  • $AD = a$
  • $AH = \frac{a}{2}$
  • $HD = \sqrt{AD^2 + AH^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác $SHD$:

$$SD = \sqrt{SH^2 + HD^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{5a^2}{4}} = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}$$

---

4. Tính chu vi tam giác $SBD$

Chu vi $P$ là tổng độ dài ba cạnh:

$$P = SB + SD + BD = \frac{a\sqrt{5}}{2} + \frac{3a}{2} + a\sqrt{2}$$

Để đưa về dạng giống các phương án lựa chọn, ta quy đồng mẫu số là 2:

$$P = \frac{a\sqrt{5} + 3a + 2a\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2} + 3 + \sqrt{5}}{2}a$$

Kết luận

Đối chiếu với các phương án:

• Đáp án đúng là: A. $\frac{2\sqrt{2} + 3 + \sqrt{5}}{2}a$

---

Câu 90: Khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $(SBD)$ xấp xỉ:

• A. $0,5a$
• B. $0,66a$
• C. $0,33a$
• D. $0,25a$

Để tính khoảng cách từ điểm $H$ đến mặt phẳng $(SBD)$, ta gọi khoảng cách đó là $d$. Công thức liên hệ giữa thể tích khối chóp và khoảng cách là:

$$V_{S.HBD} = V_{H.SBD} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle SBD} \cdot d$$

$$\Rightarrow d = \frac{3 \cdot V_{S.HBD}}{S_{\triangle SBD}}$$

---

Bước 1: Tính diện tích tam giác $SBD$

Ở câu 89, chúng ta đã có độ dài 3 cạnh của tam giác $SBD$:

• $SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}$
• $SD = \frac{3a}{2}$
• $BD = a\sqrt{2}$

Sử dụng công thức Heron hoặc tính chiều cao để tìm diện tích. Ở đây, mình dùng Heron cho chuyên nghiệp nhé. Nửa chu vi $p$:

$$p = \frac{\frac{a\sqrt{5}}{2} + \frac{3a}{2} + a\sqrt{2}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2}}{4}a$$

Tính toán diện tích $S_{\triangle SBD} = \sqrt{p(p-SB)(p-SD)(p-BD)}$, ta được:

$$S_{\triangle SBD} = \frac{3}{4}a^2$$

Bước 2: Thay vào công thức tính khoảng cách

Ta đã biết $V_{S.HBD} = \frac{a^3}{12}$ (từ Câu 88).

$$d = \frac{3 \cdot \frac{a^3}{12}}{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\frac{a^3}{4}}{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a}{3}$$

Bước 3: Tính giá trị xấp xỉ

$$d = \frac{1}{3}a \approx 0,333…a$$

---

Kết luận

• So với các phương án đề bài cho, giá trị gần nhất là: C. $0,33a$.

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 85 đến 87

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh lần lượt là $A(-5;1), B(1;5), C(7;-3)$.

Câu 85: Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Khoảng cách $OG$ là:

• A. $\sqrt{2}$.
• B. $\sqrt{3}$.
• C. $1$.
• D. $2$.

Câu 86: Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AC$. Gọi $N$ là điểm sao cho $BMCN$ là hình bình hành. Tổng hoành độ và tung độ của $N$ bằng:

• A. $7$.
• B. $8$.
• C. $9$.
• D. $10$.

Câu 87: Gọi $D$ là điểm nằm trên cạnh $BC$ sao cho đường tròn đường kính $DB$ tiếp xúc trục tung. Hiệu hoành độ và tung độ của $D$ là:

• A. $2$.
• B. $2,5$.
• C. $3$.
• D. $3,5$.

---

Câu 85: Khoảng cách từ gốc tọa độ đến trọng tâm $G$

Giải:

1. Tọa độ trọng tâm $G$:
   • $x_G = \frac{-5 + 1 + 7}{3} = 1$
   • $y_G = \frac{1 + 5 – 3}{3} = 1$$\Rightarrow G(1;1)$.
2. Khoảng cách $OG$:$$OG = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$

=> Đáp án: A. $\sqrt{2}$

Câu 86: Tọa độ điểm $N$ trong hình bình hành $BMCN$

Giải:

1. Tìm trung điểm $M$ của $AC$:$M = \left( \frac{-5+7}{2}; \frac{1-3}{2} \right) = (1; -1)$.
2. $BMCN$ là hình bình hành $\Rightarrow \vec{BM} = \vec{NC}$.
   • $\vec{BM} = (1-1; -1-5) = (0; -6)$.
   • Gọi $N(x;y)$, có $\vec{NC} = (7-x; -3-y)$.
3. Hệ phương trình:
   • $7 – x = 0 \Rightarrow x = 7$
   • $-3 – y = -6 \Rightarrow y = 3$$\Rightarrow N(7;3)$. Tổng $x + y = 10$.

=> Đáp án: D. 10

Câu 87: Điểm $D$ trên cạnh $BC$ sao cho đường tròn đường kính $DB$ tiếp xúc $Oy$

Giải:

1. Điều kiện tiếp xúc: Đường tròn đường kính $DB$ có tâm là trung điểm $I$ của $DB$ và bán kính $R = \frac{DB}{2}$. Tiếp xúc với trục $Oy$ khi $|x_I| = R$.
2. Tọa độ $D$: $D$ thuộc $BC$. Phương trình $BC$: $4x + 3y – 19 = 0$. Gọi $D(x; \frac{19-4x}{3})$.
3. Tính toán: Vì $D$ nằm trên cạnh $BC$ và $B(1;5)$ có $x_B=1 > 0$, để tiếp xúc $Oy$ thì hoành độ $x_D$ phải thỏa mãn sao cho khoảng cách từ tâm đến $Oy$ bằng nửa độ dài đoạn thẳng. Giải phương trình hình học này ta tìm được $D(4; 1)$.
4. Hiệu hoành độ và tung độ: $4 – 1 = 3$.

=> Đáp án: C. 3

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 82 đến 84

Một nhà máy có hai lô hàng cần kiểm tra. Lô A có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm lỗi. Lô B có 15 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm lỗi.

Câu 82: Từ lô hàng A chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 sản phẩm, xác suất để người đó lấy được 2 sản phẩm tốt là:

• A. $\frac{7}{15}$.
• B. $\frac{1}{5}$.
• C. $\frac{7}{30}$.
• D. $\frac{11}{90}$.

Bước 1: Xác định không gian mẫu $n(\Omega)$

Thực hiện chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 sản phẩm từ lô hàng A (tổng cộng có 10 sản phẩm).

Số cách chọn là tổ hợp chập 2 của 10:

$$n(\Omega) = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \text{ (cách)}$$

Bước 2: Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$

Biến cố $A$: “Lấy được 2 sản phẩm tốt từ lô A”.

Vì lô A có 7 sản phẩm tốt, nên số cách chọn ra 2 sản phẩm tốt là:

$$n(A) = C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \text{ (cách)}$$

Bước 3: Tính xác suất $P(A)$

Xác suất để lấy được 2 sản phẩm tốt là:

$$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{21}{45}$$

Rút gọn phân số (chia cả tử và mẫu cho 3):

$$P(A) = \frac{7}{15}$$

---

Kết luận: Đáp án đúng là A.

---

Câu 83: Xác suất đầy đủ

Đề bài: Chọn ngẫu nhiên một lô hàng, rồi từ lô hàng đó chọn ra 2 sản phẩm. Xác suất để lấy được 2 sản phẩm tốt là:

• A. $\frac{94}{105}$.
• B. $\frac{23}{94}$.
• C. $\frac{47}{105}$.
• D. $\frac{49}{94}$.

Lời giải chi tiết

Gọi $H_1$ là biến cố chọn được lô A, $H_2$ là biến cố chọn được lô B.

Vì chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 lô nên: $P(H_1) = P(H_2) = \frac{1}{2}$.

Gọi $A$ là biến cố “lấy được 2 sản phẩm tốt”.

• Nếu thuộc lô A: $P(A|H_1) = \frac{C_7^2}{C_{10}^2} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.
• Nếu thuộc lô B: $P(A|H_2) = \frac{C_{10}^2}{C_{15}^2} = \frac{45}{105} = \frac{3}{7}$.

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:

$$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)$$

$$P(A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{15} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} = \frac{7}{30} + \frac{3}{14} = \frac{49 + 45}{210} = \frac{94}{210} = \frac{47}{105}$$

=> Chọn đáp án C.

---

Câu 84: Xác suất Bayes (Xác suất hậu nghiệm)

Đề bài: Chọn ngẫu nhiên một lô hàng, rồi từ lô hàng đó chọn ra 1 sản phẩm. Biết sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi. Xác suất để lô được chọn là lô B là:

• A. $\frac{9}{19}$.
• B. $\frac{10}{19}$.
• C. $\frac{1}{2}$.
• D. $\frac{3}{5}$.

Lời giải chi tiết

Tương tự câu trên, ta có $P(H_1) = P(H_2) = \frac{1}{2}$.

Gọi $B$ là biến cố “lấy được 1 sản phẩm lỗi”.

• Xác suất lỗi ở lô A: $P(B|H_1) = \frac{3}{10}$.
• Xác suất lỗi ở lô B: $P(B|H_2) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.

Trước hết, tính xác suất để lấy được 1 sản phẩm lỗi bất kỳ (xác suất đầy đủ):

$$P(B) = P(H_1) \cdot P(B|H_1) + P(H_2) \cdot P(B|H_2)$$

$$P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{20} + \frac{1}{6} = \frac{9 + 10}{60} = \frac{19}{60}$$

Xác suất để lô được chọn là lô B khi biết sản phẩm đó đã bị lỗi (Công thức Bayes):

$$P(H_2|B) = \frac{P(H_2) \cdot P(B|H_2)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{19}{60}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{60}{19} = \frac{10}{19}$$

=> Chọn đáp án B.

1. Đề bài

Cho hàm số $y = f(x) = x^3 – 3x + m$.

• Câu 79: Với $m = 1$, tìm giá trị lớn nhất ($M$) của hàm số trên đoạn $[-2; 2]$.
• Câu 80: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên tập xác định.
• Câu 81: Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho phương trình $-x^3 + 3x = m$ có 3 nghiệm thực phân biệt.

---

2. Công thức và Lý thuyết áp dụng

A. Cực trị và Sự biến thiên

• Đạo hàm hàm bậc ba: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d \implies y’ = 3ax^2 + 2bx + c$.
• Hàm số đồng biến khi $y’ \geq 0$ và nghịch biến khi $y’ \leq 0$ trên khoảng đang xét.

B. Giá trị lớn nhất/nhỏ nhất trên đoạn $[a; b]$

1. Tính $f'(x)$, tìm các nghiệm $x_i \in [a; b]$.
2. Tính các giá trị $f(a), f(b)$ và $f(x_i)$.
3. Kết luận: $\max = \max\{f(a), f(b), f(x_i)\}$.

C. Số nghiệm của phương trình

Số nghiệm của phương trình $f(x) = m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y = m$.

• Để hàm bậc ba có 3 nghiệm phân biệt: $y_{CT} < m < y_{CD}$ (với $y_{CT}, y_{CD}$ là giá trị cực tiểu và cực đại).

---

3. Giải chi tiết

Câu 79: Tìm GTLN với $m=1$ trên $[-2; 2]$

1. Hàm số: $y = x^3 – 3x + 1$.
2. Đạo hàm: $y’ = 3x^2 – 3$. Cho $y’ = 0 \iff x = \pm 1$ (cả hai đều thuộc $[-2; 2]$).
3. Tính giá trị tại các điểm đầu mút và cực trị:
   • $f(-2) = (-2)^3 – 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1$
   • $f(2) = (2)^3 – 3(2) + 1 = 8 – 6 + 1 = 3$
   • $f(-1) = (-1)^3 – 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$
   • $f(1) = (1)^3 – 3(1) + 1 = 1 – 3 + 1 = -1$
4. Kết luận: Giá trị lớn nhất là 3.Chọn B.

Câu 80: Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
2. Đạo hàm: $y’ = 3x^2 – 3$.
3. Xét tính đơn điệu: Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì $y’ \leq 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
4. Tuy nhiên, $y’ = 3x^2 – 3$ là một parabol có bề lõm hướng lên ($a=3 > 0$), nên nó không thể luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi $x$. Nó chỉ nghịch biến trên đoạn $[-1; 1]$.
5. Tham số $m$ không làm thay đổi đạo hàm $y’$, do đó không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn.Chọn D ($m \in \varnothing$).

Câu 81: Tổng các giá trị $m$ nguyên để phương trình có 3 nghiệm

1. Xét hàm số $g(x) = -x^3 + 3x$.
2. Đạo hàm: $g'(x) = -3x^2 + 3$. Cho $g'(x) = 0 \iff x = \pm 1$.
3. Giá trị cực trị:
   • $g(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) = 1 – 3 = -2$ (Cực tiểu)
   • $g(1) = -(1)^3 + 3(1) = -1 + 3 = 2$ (Cực đại)
4. Để phương trình $g(x) = m$ có 3 nghiệm phân biệt:$$y_{CT} < m < y_{CD} \iff -2 < m < 2$$
5. Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{-1; 0; 1\}$.
6. Tổng các giá trị của $m$: $(-1) + 0 + 1 = 0$.Chọn D.

---

4. Mẹo giải nhanh – Trắc nghiệm

• Câu 79: Nhập hàm $x^3 – 3x + 1$ vào máy tính Casio, dùng tính năng TABLE (Menu 8) với $Start: -2, End: 2, Step: 0.2$. Nhìn cột $f(x)$ tìm số lớn nhất.
• Câu 80: Quan sát hệ số $a$ của hàm bậc ba. Nếu $a > 0$, hàm số luôn đồng biến hoặc có cực trị, không bao giờ nghịch biến trên toàn trục số. Bạn có thể khoanh ngay đáp án rỗng mà không cần tính toán.
• Câu 81: Vẽ nhanh dáng điệu đồ thị hình chữ $N$ ngược (do $a = -1 < 0$). Hai điểm cực trị là $\pm 1$, thay vào nhẩm nhanh giá trị là $\pm 2$. Các số nguyên nằm giữa $-2$ và $2$ đối xứng nhau qua $0$ nên tổng chắc chắn bằng $0$.

1. Đề bài

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 77 đến 78:

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(2; 2; -3)$ và hai mặt phẳng $(P): 2x + y – 2z = 0$, $(Q): 2x – y + z = 0$.

Câu 77: Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng:

A. 3.     B. 4.     C. 2.     D. 6.

Câu 78: Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ và $(Q)$ có phương trình:

A. $x + 6y + 4z – 2 = 0$.     B. $x – 6y – 4z – 2 = 0$.

C. $x – 6y + 4z + 22 = 0$.     D. $x + 6y – 4z – 26 = 0$.

---

2. Công thức và lý thuyết cần nhớ

• Khoảng cách từ điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ đến mặt phẳng $(P): ax + by + cz + d = 0$:$$d(M_0, (P)) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
• Vectơ pháp tuyến (VTPT): Mặt phẳng $(P): ax + by + cz + d = 0$ có VTPT là $\vec{n}_P = (a; b; c)$.
• Mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng khác: Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với cả $(P)$ và $(Q)$ thì VTPT của nó là tích có hướng của hai VTPT của $(P)$ và $(Q)$:$$\vec{n}_\alpha = [\vec{n}_P, \vec{n}_Q]$$

---

3. Bài giải chi tiết

Câu 77: Tính khoảng cách

Điểm $A(2; 2; -3)$ và mặt phẳng $(P): 2x + y – 2z = 0$.

Áp dụng công thức:

$$d(A, (P)) = \frac{|2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 – 2 \cdot (-3)|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}}$$

$$d(A, (P)) = \frac{|4 + 2 + 6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{12}{3} = 4$$

=> Đáp án: B.

---

Câu 78: Tìm phương trình mặt phẳng $(\alpha)$

1. Tìm VTPT của $(\alpha)$:
   • Mặt phẳng $(P)$ có $\vec{n}_P = (2; 1; -2)$.
   • Mặt phẳng $(Q)$ có $\vec{n}_Q = (2; -1; 1)$.
   • VTPT của $(\alpha)$ là: $\vec{n}_\alpha = [\vec{n}_P, \vec{n}_Q] = (-1; -6; -4)$.
   • Ta chọn VTPT cùng phương là $\vec{n} = (1; 6; 4)$ cho đẹp mắt.
2. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ qua $A(2; 2; -3)$:$$1(x – 2) + 6(y – 2) + 4(z + 3) = 0$$$$x – 2 + 6y – 12 + 4z + 12 = 0 \Leftrightarrow \mathbf{x + 6y + 4z – 2 = 0}$$=> Đáp án: A.

---

4. Cách làm nhanh – Trắc nghiệm

• Với Câu 77: Bấm máy tính hàm trị tuyệt đối trên căn thức, thay số thẳng vào. Nhớ cẩn thận dấu của cao độ $z = -3$.
• Với Câu 78:
  • Bước 1: Kiểm tra VTPT. Nhìn vào $(P)$ và $(Q)$, tích có hướng cho ra các hệ số tỉ lệ với $(1; 6; 4)$. Chỉ có đáp án A và D có bộ số này.
  • Bước 2: Thay tọa độ điểm $A(2; 2; -3)$ vào A và D.
    • Thay vào A: $2 + 6(2) + 4(-3) – 2 = 2 + 12 – 12 – 2 = 0$ (Đúng).
    • Thay vào D: $2 + 12 + 12 – 26 = 0$ (Cũng đúng nốt!).
  • Chốt hạ: Vì cả A và D đều đi qua $A$, nhưng VTPT của $(\alpha)$ phải là $(1, 6, 4)$ hoặc $(-1, -6, -4)$. Đáp án D có VTPT là $(1, 6, -4)$ nên bị loại. Vậy chọn A.

1. Đề bài

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 75 đến 76:

Cho cấp số cộng $(u_n)$ xác định bởi:

$$\begin{cases} u_1 + u_5 = 12 \\ u_2 + u_6 = 16 \end{cases}$$

Câu 75: Công sai $d$ của cấp số cộng $(u_n)$ là:

A. $d = 1$.     B. $d = 2$.     C. $d = 3$.     D. $d = 4$.

Câu 76: Tính giá trị giới hạn $\lim_{n \to \infty} \frac{5u_n – 3}{n + 2}$.

A. 0.     B. 5.     C. 10.     D. $+\infty$.

---

2. Công thức và phương pháp giải

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

• Số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_n = u_1 + (n – 1)d$.
• Phương pháp: Đưa hệ phương trình về hai ẩn số là $u_1$ (số hạng đầu) và $d$ (công sai).
• Giới hạn dãy số: Khi tính giới hạn của hàm phân thức bậc nhất theo $n$, ta chia cả tử và mẫu cho $n$ (bậc cao nhất).

---

3. Bài giải chi tiết

Câu 75: Tìm công sai $d$

Từ hệ phương trình đề bài cho:

$$\begin{cases} u_1 + u_5 = 12 \\ u_2 + u_6 = 16 \end{cases}$$

Sử dụng công thức $u_n = u_1 + (n – 1)d$, ta biến đổi hệ như sau:

$$\begin{cases} u_1 + (u_1 + 4d) = 12 \\ (u_1 + d) + (u_1 + 5d) = 16 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2u_1 + 4d = 12 \\ 2u_1 + 6d = 16 \end{cases}$$

Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên, ta được:

$$(2u_1 + 6d) – (2u_1 + 4d) = 16 – 12$$

$$2d = 4 \Rightarrow \mathbf{d = 2}$$

Thay $d = 2$ vào phương trình $2u_1 + 4d = 12$:

$$2u_1 + 4(2) = 12 \Rightarrow 2u_1 = 4 \Rightarrow \mathbf{u_1 = 2}$$

=> Đáp án đúng: B.

---

Câu 76: Tính giá trị giới hạn

Trước hết, tìm công thức tổng quát của $u_n$:

$$u_n = u_1 + (n – 1)d = 2 + (n – 1)2 = 2 + 2n – 2 = 2n$$

Thay $u_n = 2n$ vào biểu thức giới hạn:

$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{5(2n) – 3}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{10n – 3}{n + 2}$$

Chia cả tử và mẫu cho $n$:

$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{10 – \frac{3}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{10 – 0}{1 + 0} = \mathbf{10}$$

=> Đáp án đúng: C.

---

4. Mẹo giải nhanh trắc nghiệm

• Với Câu 75: Bạn có thể để ý quy luật: $u_2$ hơn $u_1$ đúng $d$, $u_6$ hơn $u_5$ đúng $d$. Vậy tổng $(u_2+u_6)$ sẽ hơn $(u_1+u_5)$ một lượng là $2d$.Tính ngay: $2d = 16 – 12 = 4 \Rightarrow d = 2$. (Mất chưa đầy 5 giây!)
• Với Câu 76: Khi $n$ tiến ra vô cùng, các hằng số $(-3, +2)$ không còn quan trọng. Giới hạn chỉ phụ thuộc vào hệ số của $n$.Hệ số của $u_n$ là $d=2$. Vậy tử số đại diện là $5 \times 2n = 10n$, mẫu số đại diện là $n$.Kết quả: $10n / n = 10$.

1. Đề bài

Câu 74: Giả sử lợi nhuận thu được từ mỗi chiếc bánh loại A là 10 nghìn đồng và từ loại B là 15 nghìn đồng. Lợi nhuận tối đa (nghìn đồng) có thể thu được là:

A. 250.

B. 300.

C. 350.

D. 400.

---

2. Công thức, Lý thuyết và Phương pháp giải

Lý thuyết bài toán tối ưu (Quy hoạch tuyến tính):

• Hàm mục tiêu: Là biểu thức đại số biểu diễn đại lượng cần tối ưu (lợi nhuận, chi phí…). Thường có dạng $F(x, y) = ax + by$.
• Miền nghiệm: Là một đa giác (lồi) được bao quanh bởi các đường thẳng của hệ bất phương trình ràng buộc.
• Định lý quan trọng: Giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của hàm mục tiêu $F(x, y)$ trên một miền đa giác luôn đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Phương pháp giải:

1. Xác định hàm mục tiêu: Thiết lập công thức tính lợi nhuận $F(x, y)$.
2. Xác định tọa độ các đỉnh: Tìm giao điểm của các đường thẳng trong hệ bất phương trình từ Câu 73.
3. Tính giá trị: Thay tọa độ từng đỉnh vào hàm mục tiêu.
4. Kết luận: Chọn giá trị lớn nhất.

---

3. Bài giải chi tiết

Bước 1: Thiết lập hàm lợi nhuận Gọi $F(x, y)$ là lợi nhuận (đơn vị: nghìn đồng). Ta có:

$$F(x, y) = 10x + 15y$$

Bước 2: Xác định miền nghiệm từ Câu 73 Hệ bất phương trình sau khi rút gọn:

• $200x + 100y \leq 5000 \Leftrightarrow 2x + y \leq 50$ (Đường thẳng $d_1$)
• $25x + 50y \leq 1000 \Leftrightarrow x + 2y \leq 40$ (Đường thẳng $d_2$)
• $x \geq 0, y \geq 0$

Bước 3: Tìm tọa độ các đỉnh của miền nghiệm Miền nghiệm là tứ giác $OABC$ với các đỉnh:

1. $O(0, 0)$: Gốc tọa độ.
2. $A(25, 0)$: Giao của $d_1$ và trục $Ox$ (cho $y=0$ vào $2x+y=50$).
3. $B(20, 10)$: Giao của $d_1$ và $d_2$. Giải hệ: $\begin{cases} 2x + y = 50 \\ x + 2y = 40 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 20 \\ y = 10 \end{cases}$
4. $C(0, 20)$: Giao của $d_2$ và trục $Oy$ (cho $x=0$ vào $x+2y=40$).

Bước 4: Tính lợi nhuận tại các đỉnh

• Tại $O(0, 0): F = 10(0) + 15(0) = 0$.
• Tại $A(25, 0): F = 10(25) + 15(0) = 250$.
• Tại $B(20, 10)$: $F = 10(20) + 15(10) = 200 + 150 = \mathbf{350}$.
• Tại $C(0, 20): F = 10(0) + 15(20) = 300$.

Kết luận: Lợi nhuận tối đa là 350 nghìn đồng. => Đáp án đúng là: C.

---

4. Cách làm nhanh – Trắc nghiệm

Trong phòng thi, để tiết kiệm thời gian, bạn có thể áp dụng các mẹo sau:

1. Nhắm vào điểm giao: Trong hầu hết các bài toán kinh tế dạng này, giá trị tối ưu thường rơi vào điểm giao nhau của hai nguồn lực (điểm $B$). Hãy giải nhanh hệ phương trình của hai dòng đầu tiên trước.
2. Thử các phương án biên:
   • Nếu chỉ làm bánh A: $5000 / 200 = 25$ cái $\rightarrow$ Lợi nhuận: $25 \times 10 = 250$.
   • Nếu chỉ làm bánh B: $1000 / 50 = 20$ cái $\rightarrow$ Lợi nhuận: $20 \times 15 = 300$.
   • Kết hợp (giải hệ): 20 bánh A và 10 bánh B $\rightarrow$ Lợi nhuận: $350$.
3. So sánh: $350$ là số lớn nhất trong các kết quả tính được, chọn ngay C!