6.20. Giải các phương trình sau:
a) $3^{x-1} = 27$
b) $100^{2x^2 – 3} = 0,1^{2x^2 – 18}$
c) $\sqrt{3}e^{3x} = 1$
d) $5^x = 3^{2x-1}$
Bài giải
a) $3^{x-1} = 27$
Ta có: $27 = 3 \times 3 \times 3$, tức là $27 = 3^3$.
Vì hai vế đã cùng cơ số 3 (và $3 > 0, 3 \neq 1$), nên để hai vế bằng nhau thì các số mũ phải bằng nhau:
$$x – 1 = 3$$
$$x = 3 + 1$$
$x = 4$
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là $S = \{4\}$.
b) $100^{2x^2 – 3} = 0,1^{2x^2 – 18}$
7.5. Cho hình chóp $S.ABC$ có các đặc điểm sau:
Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAM)$.
b) Tam giác $SBC$ là tam giác cân tại $S$.
Xét đáy $ABC$:
Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ và $M$ là trung điểm của $BC$, nên đường trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao của tam giác. $\Rightarrow BC \perp AM$ (1).
Xét quan hệ với đường cao $SA$:
Theo giả thiết, $SA \perp (ABC)$. Mà $BC$ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$.$\Rightarrow SA \perp BC$ hay $BC \perp SA$ (2).
Kết luận:
Trong mặt phẳng $(SAM)$, ta có $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau là $AM$ và $SA$ (tại điểm $A$).
Vậy $BC \perp (SAM)$ (Điều phải chứng minh).
Cách 1 (Sử dụng đường cao và trung tuyến):
Từ kết quả câu (a), ta có $BC \perp (SAM)$. Mà đường thẳng $SM$ nằm trong mặt phẳng $(SAM)$.
Suy ra $BC \perp SM$ tại $M$. Điều này có nghĩa $SM$ là đường cao của $\triangle SBC$.
Mặt khác, $M$ là trung điểm của $BC$ (giả thiết), nên $SM$ cũng là đường trung tuyến.
Trong $\triangle SBC$, đường trung tuyến $SM$ đồng thời là đường cao nên $\triangle SBC$ cân tại $S$ (Điều phải chứng minh).
Cách 2 (Sử dụng định lý Pitago ):
Xét $\triangle SAB$ và $\triangle SAC$ vuông tại $A$ (vì $SA \perp$ đáy).
Ta có: $SB^2 = SA^2 + AB^2$ và $SC^2 = SA^2 + AC^2$.
Mà $AB = AC$ ($\triangle ABC$ cân tại $A$).
Suy ra $SB^2 = SC^2 \Rightarrow SB = SC$.
Vậy $\triangle SBC$ cân tại $S$.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Biết rằng $SA = SC$ và $SB = SD$. Chứng minh rằng đường thẳng $SO$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức trọng tâm sau:
Bước 1: Xác định vai trò của điểm $O$
Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$, nên $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Theo tính chất hình bình hành, $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.
Bước 2: Chứng minh $SO \perp AC$
Xét tam giác $SAC$:
Bước 3: Chứng minh $SO \perp BD$
Xét tam giác $SBD$:
Bước 4: Kết luận
Trong mặt phẳng $(ABCD)$, ta có:
7.3. Cho tứ diện $ABCD$ có $\widehat{CBD} = 90^\circ$.
a) Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của $AB, AD$. Chứng minh rằng $MN$ vuông góc với $BC$.
b) Gọi $G, K$ tương ứng là trọng tâm của các tam giác $ABC, ACD$. Chứng minh rằng $GK$ vuông góc với $BC$.
Giải
a) Chứng minh $MN$ vuông góc với $BC$
Xét $\triangle ABD$, ta có:
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\triangle ABD$.
$\Rightarrow MN \parallel BD$ (1)
Mặt khác, theo giả thiết ta có $\widehat{CBD} = 90^\circ$ nên:
$BD \perp BC$ (2)
Từ (1) và (2), áp dụng quan hệ giữa tính song song và vuông góc, ta suy ra:
$$MN \perp BC$$
(Điều phải chứng minh)
b) Chứng minh $GK$ vuông góc với $BC$
Gọi $E$ là trung điểm của cạnh $AC$.
Xét $\triangle ABC$, vì $G$ là trọng tâm và $BE$ là đường trung tuyến xuất phát từ $B$ nên điểm $G$ nằm trên đoạn $BE$ và ta có tỉ số:
$$\frac{EG}{EB} = \frac{1}{3}$$
Tương tự, xét $\triangle ACD$, vì $K$ là trọng tâm và $DE$ là đường trung tuyến xuất phát từ $D$ nên điểm $K$ nằm trên đoạn $DE$ và ta có tỉ số:
$$\frac{EK}{ED} = \frac{1}{3}$$
Xét $\triangle EBD$, ta có:
$$\frac{EG}{EB} = \frac{EK}{ED} = \frac{1}{3}$$
Theo định lý Thales đảo, ta suy ra:
$GK \parallel BD$ (3)
Mà ta đã biết:
$BD \perp BC$ (chứng minh ở câu a) (4)
Từ (3) và (4), suy ra:
$$GK \perp BC$$
(Điều phải chứng minh)
Bài 3.3: Thời gian ra sân (giờ) của một số cựu cầu thủ ở giải ngoại hạng Anh qua các thời kì được cho như sau: 653, 632, 609, 572, 565, 535, 516, 514, 508, 505, 504, 504, 503, 499, 496, 492. Yêu cầu: Hãy chuyển mẫu số liệu trên sang dạng ghép nhóm với bảy nhóm có độ dài bằng nhau.
| Thời gian ra sân (giờ) | Tần số (Số cầu thủ) |
| $[475; 500)$ | 3 |
| $[500; 525)$ | 7 |
| $[525; 550)$ | 1 |
| $[550; 575)$ | 2 |
| $[575; 600)$ | 0 |
| $[600; 625)$ | 1 |
| $[625; 650)$ | 1 |
| $[650; 675)$ | 1 |
Bài 3.2. Số sản phẩm một công nhân làm được trong một ngày được cho như sau: 18, 25, 39, 12, 54, 27, 46, 25, 19, 8, 36, 22, 20, 19, 17, 44, 5, 18, 23, 28, 25, 34, 46, 27, 16.
Hãy chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm với sáu nhóm có độ dài bằng nhau.
Bước 1: Tìm khoảng biến thiên
Bước 2: Xác định độ dài nhóm ($h$)
Bước 3: Lập bảng tần số ghép nhóm
Các nhóm có độ dài 10 là: $[0; 10), [10; 20), [20; 30), [30; 40), [40; 50), [50; 60)$.
| Nhóm sản phẩm | Các giá trị thuộc nhóm | Tần số (Số công nhân/ngày) |
| $[0; 10)$ | 8, 5 | 2 |
| $[10; 20)$ | 18, 12, 19, 19, 17, 18, 16 | 7 |
| $[20; 30)$ | 25, 27, 25, 22, 20, 23, 28, 25, 27 | 9 |
| $[30; 40)$ | 39, 36, 34 | 3 |
| $[40; 50)$ | 46, 44, 46 | 3 |
| $[50; 60)$ | 54 | 1 |
| Tổng | 25 |
3.1. Trong các mẫu số liệu sau, mẫu nào là mẫu số liệu ghép nhóm? Đọc và giải thích mẫu số liệu ghép nhóm đó.
a) Số tiền mà sinh viên chi cho thanh toán cước điện thoại trong tháng.
| Số tiền (nghìn đồng) | [0;50) | [50;100) | [100;150) | [150;200) | [200;250) |
| Số sinh viên | 5 | 12 | 23 | 17 | 3 |
b) Thống kê nhiệt độ tại một địa điểm trong 40 ngày, ta có bảng số liệu sau:
| Nhiệt độ (∘C) | [19;22) | [22;25) | [25;28) | [28;31) |
| Số ngày | 7 | 15 | 12 | 6 |
Bài giải
Mẫu số liệu này gồm 5 nhóm:
Mẫu số liệu này gồm 4 nhóm:
Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 88 đến 90:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ lên mặt đáy $(ABCD)$ là trung điểm của $AB$. Biết $SH = a$.
Câu 88: Thể tích hình chóp $S.BHD$ là:
Câu 89: Chu vi tam giác $SBD$ là:
Câu 90: Khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $(SBD)$ xấp xỉ:
Câu 88: Thể tích hình chóp $S.BHD$ là:
1. Tính diện tích tam giác $BHD$:
Tam giác $BHD$ nằm trên hình vuông $ABCD$ cạnh $a$.
Diện tích tam giác $BHD$ là:
$$S_{\triangle BHD} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot a = \frac{a^2}{4}$$
2. Tính thể tích khối chóp $S.BHD$:
Công thức tính thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3} \cdot S_{đáy} \cdot h$.
Thay các giá trị đã tìm được vào:
$$V_{S.BHD} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle BHD} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{4} \cdot a = \frac{a^3}{12}$$
Đối chiếu với các phương án đề bài đưa ra:
Câu 89: Chu vi tam giác $SBD$ là:
Trong hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, độ dài đường chéo $BD$ được tính theo công thức:
$$BD = a\sqrt{2}$$
Xét tam giác vuông $SHB$ (vuông tại $H$ vì $SH \perp (ABCD)$):
Áp dụng định lý Pythagoras:
$$SB = \sqrt{SH^2 + HB^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$$
Xét tam giác vuông $SHD$ (vuông tại $H$):
Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác $SHD$:
$$SD = \sqrt{SH^2 + HD^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{5a^2}{4}} = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}$$
Chu vi $P$ là tổng độ dài ba cạnh:
$$P = SB + SD + BD = \frac{a\sqrt{5}}{2} + \frac{3a}{2} + a\sqrt{2}$$
Để đưa về dạng giống các phương án lựa chọn, ta quy đồng mẫu số là 2:
$$P = \frac{a\sqrt{5} + 3a + 2a\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2} + 3 + \sqrt{5}}{2}a$$
Đối chiếu với các phương án:
Câu 90: Khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $(SBD)$ xấp xỉ:
Để tính khoảng cách từ điểm $H$ đến mặt phẳng $(SBD)$, ta gọi khoảng cách đó là $d$. Công thức liên hệ giữa thể tích khối chóp và khoảng cách là:
$$V_{S.HBD} = V_{H.SBD} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle SBD} \cdot d$$
$$\Rightarrow d = \frac{3 \cdot V_{S.HBD}}{S_{\triangle SBD}}$$
Ở câu 89, chúng ta đã có độ dài 3 cạnh của tam giác $SBD$:
Sử dụng công thức Heron hoặc tính chiều cao để tìm diện tích. Ở đây, mình dùng Heron cho chuyên nghiệp nhé. Nửa chu vi $p$:
$$p = \frac{\frac{a\sqrt{5}}{2} + \frac{3a}{2} + a\sqrt{2}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2}}{4}a$$
Tính toán diện tích $S_{\triangle SBD} = \sqrt{p(p-SB)(p-SD)(p-BD)}$, ta được:
$$S_{\triangle SBD} = \frac{3}{4}a^2$$
Ta đã biết $V_{S.HBD} = \frac{a^3}{12}$ (từ Câu 88).
$$d = \frac{3 \cdot \frac{a^3}{12}}{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\frac{a^3}{4}}{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a}{3}$$
$$d = \frac{1}{3}a \approx 0,333…a$$
Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 85 đến 87
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh lần lượt là $A(-5;1), B(1;5), C(7;-3)$.
Câu 85: Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Khoảng cách $OG$ là:
Câu 86: Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AC$. Gọi $N$ là điểm sao cho $BMCN$ là hình bình hành. Tổng hoành độ và tung độ của $N$ bằng:
Câu 87: Gọi $D$ là điểm nằm trên cạnh $BC$ sao cho đường tròn đường kính $DB$ tiếp xúc trục tung. Hiệu hoành độ và tung độ của $D$ là:
Giải:
=> Đáp án: A. $\sqrt{2}$
Giải:
=> Đáp án: D. 10
Giải:
=> Đáp án: C. 3
