Vì $n$ và $k$ đều dương, ta có: $\frac{1}{n^k} < \varepsilon \iff n^k > \frac{1}{\varepsilon}$.
Chọn $n_0$:
Ta chọn $n_0$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $\sqrt[k]{\frac{1}{\varepsilon}}$ (kí hiệu là $\left[ \sqrt[k]{\frac{1}{\varepsilon}} \right]$).
Kết luận:
Với mọi $n > n_0$, ta luôn có $n > \sqrt[k]{\frac{1}{\varepsilon}}$, dẫn đến $\frac{1}{n^k} < \varepsilon$. Theo định nghĩa, ta có: $\mathbf{\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0}$.
Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy: $SA \perp (ABC)$.
$M$ là trung điểm của cạnh $BC$.
Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAM)$.
b) Tam giác $SBC$ là tam giác cân tại $S$.
Bài giải
a) Chứng minh $BC \perp (SAM)$
Xét đáy $ABC$:
Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ và $M$ là trung điểm của $BC$, nên đường trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao của tam giác. $\Rightarrow BC \perp AM$ (1).
Xét quan hệ với đường cao $SA$:
Theo giả thiết, $SA \perp (ABC)$. Mà $BC$ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$.$\Rightarrow SA \perp BC$ hay $BC \perp SA$ (2).
Kết luận:
Trong mặt phẳng $(SAM)$, ta có $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau là $AM$ và $SA$ (tại điểm $A$).
Vậy $BC \perp (SAM)$ (Điều phải chứng minh).
b) Chứng minh tam giác $SBC$ cân tại $S$
Cách 1 (Sử dụng đường cao và trung tuyến):
Từ kết quả câu (a), ta có $BC \perp (SAM)$. Mà đường thẳng $SM$ nằm trong mặt phẳng $(SAM)$.
Suy ra $BC \perp SM$ tại $M$. Điều này có nghĩa $SM$ là đường cao của $\triangle SBC$.
Mặt khác, $M$ là trung điểm của $BC$ (giả thiết), nên $SM$ cũng là đường trung tuyến.
Trong $\triangle SBC$, đường trung tuyến $SM$ đồng thời là đường cao nên $\triangle SBC$ cân tại $S$ (Điều phải chứng minh).
Cách 2 (Sử dụng định lý Pitago ):
Xét $\triangle SAB$ và $\triangle SAC$ vuông tại $A$ (vì $SA \perp$ đáy).
Ta có: $SB^2 = SA^2 + AB^2$ và $SC^2 = SA^2 + AC^2$.
Bài 3.3: Thời gian ra sân (giờ) của một số cựu cầu thủ ở giải ngoại hạng Anh qua các thời kì được cho như sau: 653, 632, 609, 572, 565, 535, 516, 514, 508, 505, 504, 504, 503, 499, 496, 492. Yêu cầu: Hãy chuyển mẫu số liệu trên sang dạng ghép nhóm với bảy nhóm có độ dài bằng nhau.
Giải
Thông số: $x_{max} = 653$; $x_{min} = 492$; số nhóm $k = 7$.
Khoảng biến thiên: $R = 653 – 492 = 161$.
Độ dài nhóm: $L = 161 / 7 = 23$. Ta chọn luôn độ dài nhóm là 24 hoặc 25 để khoảng chia đẹp hơn. Ở đây ta dùng độ dài 25 và bắt đầu từ 475.
Bài 3.2. Số sản phẩm một công nhân làm được trong một ngày được cho như sau: 18, 25, 39, 12, 54, 27, 46, 25, 19, 8, 36, 22, 20, 19, 17, 44, 5, 18, 23, 28, 25, 34, 46, 27, 16.
Hãy chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm với sáu nhóm có độ dài bằng nhau.
Bài giải
Bước 1: Tìm khoảng biến thiên
Giá trị lớn nhất: $x_{max} = 54$.
Giá trị nhỏ nhất: $x_{min} = 5$.
Khoảng biến thiên: $R = 54 – 5 = 49$.
Bước 2: Xác định độ dài nhóm ($h$)
Theo đề bài, cần chia thành $k = 6$ nhóm.
Ta có: $R/6 = 49/6 \approx 8,16$.
Để thuận tiện và bao phủ hết các giá trị từ 5 đến 54, ta chọn độ dài mỗi nhóm là $h = 10$.
Các nhóm sẽ bắt đầu từ giá trị 0 (hoặc 5) để các khoảng được tròn trịa. Ta chọn bắt đầu từ 0.
Bước 3: Lập bảng tần số ghép nhóm
Các nhóm có độ dài 10 là: $[0; 10), [10; 20), [20; 30), [30; 40), [40; 50), [50; 60)$.
D. $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha$.
Câu 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số $y = \sin x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$.
B. Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$.
C. Hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$.
D. Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$.
Câu 3. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 5^n$. Số hạng $u_{2n}$ bằng:
A. $2 \cdot 5^n$.
B. $25^n$.
C. $10^n$.
D. $5^{n^2}$.
Câu 4. Hãy cho biết dãy số $(u_n)$ nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát của nó là:
A. $\frac{1}{n^2 + 1}$.
B. $2^{-n}$.
C. $\log_{\frac{1}{2}} n$.
D. $\frac{n}{n + 1}$.
Câu 5. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = L \ge 0$ thì $\lim_{x \to x_0} \sqrt{f(x)} = \sqrt{L}$.
B. $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = -\infty$.
C. Nếu $|q| < 1$ thì $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
D. $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin n}{n + 1} = 0$.
Câu 6. Hàm số nào dưới đây không liên tục trên $\mathbb{R}$?
A. $y = \tan x$.
B. $y = \frac{2x^2 + 3x – 1}{x^2 + 1}$.
C. $y = \sin x$.
D. $y = |x|$.
Câu 7. Cho $0 < a \neq 1$. Giá trị của biểu thức $\log_a \left( a^3 \cdot \sqrt[4]{a} \right) + (\sqrt[3]{a})^{\log_a 8}$ bằng:
A. $\frac{19}{4}$.
B. $9$.
C. $\frac{21}{4}$.
D. $\frac{47}{12}$.
Câu 8. Cho đồ thị ba hàm số mũ $y = a^x$, $y = b^x$ và $y = c^x$ như trong hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $a > c > b$.
B. $b > a > c$.
C. $c > a > b$.
D. $c > b > a$.
Câu 9. Nếu $f(x) = \sin^2 x + xe^{2x}$ thì $f”(0)$ bằng
A. $4$.
B. $5$.
C. $6$.
D. $0$.
Câu 10. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = -2x^3 + 6x^2 – 5$ tại điểm $M(3; -5)$ thuộc đồ thị là
A. $y = 18x + 49$.
B. $y = 18x – 49$.
C. $y = -18x – 49$.
D. $y = -18x + 49$.
Câu 11. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và $SA \perp (ABC)$, $SA = a\sqrt{2}$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng
A. $\frac{6a}{11}$.
B. $\frac{a\sqrt{66}}{11}$.
C. $\frac{a\sqrt{6}}{11}$.
D. $\frac{a\sqrt{11}}{11}$.
Câu 12. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết $AC = AA’ = 2a$. Giá trị lớn nhất của thể tích hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ bằng
A. $8a^3$.
B. $6a^3$.
C. $4a^3$.
D. $a^3$.
Câu 13. Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AC$ và cạnh $AD$. Thể tích khối chóp $B.CMND$ bằng
A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.
B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{16}$.
C. $\frac{a^3\sqrt{2}}{24}$.
D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{8}$.
Câu 14. Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A’B’C’$ có $AB = 1, AA’ = 2$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ bằng
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
B. $\frac{\sqrt{3}}{6}$.
C. $\frac{\sqrt{3}}{4}$.
D. $\frac{\sqrt{3}}{8}$.
Câu 15. Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ có $AC’ = \sqrt{3}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB’$ và $BC’$ bằng
A. $\frac{1}{3}$.
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
D. $\frac{1}{2}$.
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu hỏi 16, 17:
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thu nhập của các công nhân tại một doanh nghiệp lớn:
Mức thu nhập (triệu đồng/tháng)
[0;5)
[5;10)
[10;15)
[15;20)
[20;25)
Số công nhân
$7$
$18$
$35$
$57$
$28$
Câu 16. Nhóm chứa trung vị là
A. $[5; 10)$.
B. $[10; 15)$.
C. $[15; 20)$.
D. $[20; 25)$.
Câu 17. Nhóm chứa mốt là
A. $[5; 10)$.
B. $[10; 15)$.
C. $[15; 20)$.
D. $[20; 25)$.
Câu 18. Vận động viên Tùng thi bắn súng. Biết rằng xác suất để Tùng bắn trúng vòng 10 là $0,2$. Mỗi vận động viên được bắn hai lần và hai lần bắn là độc lập. Vận động viên đạt huy chương vàng nếu cả hai lần bắn trúng vòng 10. Xác suất để vận động viên Tùng đạt huy chương vàng là
A. $0,04$.
B. $0,035$.
C. $0,05$.
D. $0,045$.
Câu 19. Hai bạn Sơn và Tùng, mỗi người gieo một con xúc xắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên cả hai con xúc xắc của Sơn và Tùng lớn hơn $1$ là
A. $\frac{27}{36}$.
B. $\frac{25}{36}$.
C. $\frac{26}{35}$.
D. $\frac{28}{37}$.
Câu 20. Hai bạn An và Bình tham gia một trò chơi độc lập với nhau. Xác suất để An và Bình giành giải thưởng tương ứng là $0,8$ và $0,6$. Xác suất để có ít nhất một bạn giành giải thưởng là
Câu 22. Mùa xuân ở hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún cây đu sẽ đưa người chơi dao động qua lại quanh vị trí cân bằng. Giả sử khoảng cách $h$ (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng được tính theo thời gian $t$ ($t \ge 0$ và được tính bằng giây) bởi hệ thức $h = |d|$ với $d = 3\cos \left[ \frac{\pi}{3}(2t – 1) \right]$, trong đó ta quy ước rằng $d > 0$ khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu và $d < 0$ trong trường hợp ngược lại.
a) Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.
b) Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu cách vị trí cân bằng $2 \text{ m}$ (tính chính xác đến $0,01$ giây).
Câu 23. Cho cấp số nhân $(u_n)$ biết rằng ba số $u_1, u_4$ và $u_7$ lần lượt là các số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ mười của một cấp số cộng có công sai $d \neq 0$. Hãy tìm công bội $q$ của cấp số nhân đó.
Câu 24. Một công ty đề xuất kí hợp đồng với một người lao động theo một trong hai loại hợp đồng sau:
Hợp đồng A: Lương 200 triệu đồng cho năm đầu tiên và sau mỗi năm tăng thêm 10 triệu đồng.
Hợp đồng B: Lương 180 triệu đồng cho năm đầu tiên và sau mỗi năm tăng thêm $5\%$.
Kí hiệu $u_n, v_n$ tương ứng là lương nhận được (triệu đồng) của năm thứ $n$ ứng với các hợp đồng $A$ và $B$.
a) Tính $u_2, u_3$ và $u_n$ theo $n$. Nếu người lao động đó làm việc cho công ty trong thời gian 5 năm theo hợp đồng $A$ thì tổng số tiền lương người đó nhận được là bao nhiêu?
b) Tính $v_2, v_3$ và $v_n$ theo $n$. Nếu người lao động đó làm việc cho công ty trong thời gian 5 năm theo hợp đồng $B$ thì tổng số tiền lương người đó nhận được là bao nhiêu?
c) Sau bao nhiêu năm thì lương hằng năm theo hợp đồng $B$ vượt lương hằng năm theo hợp đồng $A$?
a) Hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 4x + 3}{x + 1} & \text{khi } x \neq -1 \\ m^2 & \text{khi } x = -1 \end{cases}$ liên tục tại điểm $x = -1$;
b) Hàm số $g(x) = \begin{cases} 2x + m & \text{khi } x \le 1 \\ \frac{x^3 – x^2 + 2x – 2}{x – 1} & \text{khi } x > 1 \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Câu 27. Giải các phương trình và bất phương trình sau:
Câu 28. Để xác định tính acid và tính bazơ của các dung dịch, người ta sử dụng khái niệm độ pH. Độ pH của một dung dịch được cho bởi công thức $\text{pH} = -\log[H^+]$, trong đó $[H^+]$ là nồng độ của ion hydrogen (tính bằng mol/lít).
a) Tính độ pH của một dung dịch có nồng độ ion hydrogen là $0,1 \text{ mol/lít}$.
b) Độ pH sẽ biến đổi như thế nào nếu nồng độ ion hydrogen giảm?
c) Xác định nồng độ ion hydrogen trong bia biết độ pH của bia là khoảng $4,5$.
Câu 29. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = 3x^2 – 2\sqrt{x}$;
b) $y = \sqrt{1 + 2x – x^2}$;
c) $y = \tan\frac{x}{2} – \cot\frac{x}{2}$;
d) $y = e^x + \ln x^2$.
Câu 30. Một chất điểm chuyển động có phương trình $s(t) = t^3 – 3t^2 – 9t + 2$, ở đó thời gian $t > 0$ tính bằng giây và quãng đường $s$ tính bằng mét.
a) Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 2 \text{ giây}$.
b) Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 3 \text{ giây}$.
c) Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng $0$.
d) Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc bằng $0$.
Câu 31. Cho tứ diện $OABC$ có $OA = OB = OC = a$, $\widehat{AOB} = \widehat{AOC} = 60^\circ$ và $\widehat{BOC} = 90^\circ$.
a) Chứng minh rằng $(OBC) \perp (ABC)$.
b) Tính theo $a$ khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ và thể tích khối tứ diện $OABC$.
Câu 32. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Biết $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $SC$, cắt các cạnh $SC, SB, SD$ lần lượt tại $M, E, F$.
a) Chứng minh rằng $AE \perp (SBC)$.
b) Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD$ và hình chóp $S.AEMF$.
Câu 33. Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A’B’C’$ có $AB = a, AA’ = a\sqrt{2}$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BB’$ và $CC’$. Mặt phẳng $(A’MN)$ cắt đường thẳng $AB, AC$ tương ứng tại $H$ và $K$.
a) Chứng minh rằng $MN \parallel HK$.
b) Tính theo $a$ thể tích khối chóp $A’.AHK$.
Câu 34. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $\widehat{BAD} = 60^\circ$. Biết $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$.
a) Chứng minh rằng $BD \perp SC$.
b) Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$.
Câu 35. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AD = a, AB = a\sqrt{2}$. Biết $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $CD$.
a) Chứng minh rằng $BD \perp (SAM)$.
b) Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABMD$.
Câu 36. Trong đại dịch Covid-19, một doanh nghiệp muốn hỗ trợ các gia đình thuộc nhóm $25\%$ hộ gia đình có thu nhập thấp nhất ở một địa phương. Một mẫu số liệu ghép nhóm về thu nhập của các hộ gia đình ở địa phương này được cho trong bảng sau:
Thu nhập (triệu đồng/tháng)
[2;5)
[5;8)
[8;11)
[11;14)
[14;17)
[17;20)
Số hộ gia đình
$8$
$17$
$35$
$56$
$27$
$15$
Dựa trên mẫu số liệu trên, hãy xác định hộ gia đình có thu nhập dưới bao nhiêu sẽ nhận được hỗ trợ của doanh nghiệp đó?
Câu 37. Hai bạn Dũng và Cường tham gia một kì thi học sinh giỏi môn Toán. Xác suất để Dũng và Cường đạt giải tương ứng là $0,85$ và $0,9$. Tính xác suất để:
a) Có ít nhất một trong hai bạn đạt giải;
b) Có đúng một bạn đạt giải.
Câu 38. Một máy bay có 4 động cơ trong đó 2 động cơ ở cánh phải và 2 động cơ ở cánh trái. Chuyến bay hạ cánh an toàn khi trên mỗi cánh của nó có ít nhất một động cơ không bị lỗi. Giả sử mỗi động cơ ở cánh phải có xác suất bị lỗi là $0,01$ và mỗi động cơ ở cánh trái có xác suất bị lỗi là $0,015$. Các động cơ hoạt động độc lập với nhau. Tính xác suất để chuyến bay hạ cánh an toàn.
