Danh mục: TOÁN 11

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{3 \cdot 2^n – 1}{2^n}$.

Chứng minh bằng định nghĩa: $\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$.

Giải

Để chứng minh $\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$, ta cần chứng minh $\lim_{n \to +\infty} (u_n – 3) = 0$.

Xét hiệu $(u_n – 3)$

Ta có:

$$u_n – 3 = \frac{3 \cdot 2^n – 1}{2^n} – 3$$

$$u_n – 3 = \left( \frac{3 \cdot 2^n}{2^n} – \frac{1}{2^n} \right) – 3$$

$$u_n – 3 = \left( 3 – \frac{1}{2^n} \right) – 3$$

$$u_n – 3 = – \frac{1}{2^n}$$

Xét giới hạn của hiệu khi $n$ dần tới dương vô cực:

$$\lim_{n \to +\infty} (u_n – 3) = \lim_{n \to +\infty} \left( – \frac{1}{2^n} \right)$$

$$\lim_{n \to +\infty} (u_n – 3) = – \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n$$

Vì $|q| = |\frac{1}{2}| < 1$, nên theo định lý về giới hạn của cấp số nhân lùi vô hạn, ta có:

$$\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n = 0$$

Suy ra:

$$\lim_{n \to +\infty} (u_n – 3) = 0$$

Kết luận

Vì $\lim_{n \to +\infty} (u_n – 3) = 0$, nên theo đúng định nghĩa, ta kết luận:

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$$

Chứng minh rằng:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{3^n} = 0$$

Giải

Xét dãy số $u_n = \frac{(-1)^{n-1}}{3^n}$.

Ta có:

$$|u_n| = \left| \frac{(-1)^{n-1}}{3^n} \right| = \frac{|(-1)^{n-1}|}{|3^n|} = \frac{1}{3^n} = \left( \frac{1}{3} \right)^n$$

Vì $|q| = \left| \frac{1}{3} \right| < 1$ nên theo giới hạn cơ bản, ta có:

$$\lim \left( \frac{1}{3} \right)^n = 0$$

Do $|u_n| = \left( \frac{1}{3} \right)^n$ và $\lim \left( \frac{1}{3} \right)^n = 0$, theo định lý về giới hạn trị tuyệt đối, ta suy ra:

$$\lim u_n = 0$$

Vậy:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{3^n} = 0 \text{ (Đpcm)}$$

Chứng minh: Nếu $|u_n| \leq v_n$ và $\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$ thì $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

Giải

Theo định nghĩa $\lim v_n = 0$,

Với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại $n_0$ sao cho với mọi $n > n_0$ thì $|v_n| < \varepsilon$.

Vì $v_n$ thường được hiểu là dãy không âm theo đề bài (do $v_n \geq |u_n|$),

Ta có:

$v_n < \varepsilon$

Từ giả thiết:

$|u_n| \leq v_n < \varepsilon$.

Như vậy, với cùng số $n_0$ đó, ta có $|u_n| < \varepsilon$ với mọi $n > n_0$.

Theo định nghĩa, $\mathbf{\lim_{n \to +\infty} u_n = 0}$.

Chứng minh: $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$ (với $|q| < 1$)

Giải

Trường hợp 1:

Nếu $q = 0$, hiển nhiên $q^n = 0$ với mọi $n \geq 1$, nên giới hạn bằng $0$.

Trường hợp 2:

Nếu $0 < |q| < 1$,

Đặt $|q| = \frac{1}{1+a}$ với $a > 0$ (vì $|q| < 1$ nên nghịch đảo của nó phải lớn hơn $1$).

Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli:

$(1+a)^n \geq 1 + na > na$.

Từ đó ta có:

$$|q^n| = |q|^n = \frac{1}{(1+a)^n} < \frac{1}{na}$$

Để $|q^n| < \varepsilon$, ta chỉ cần chọn $n$ sao cho $\frac{1}{na} < \varepsilon \iff n > \frac{1}{a\varepsilon}$.

Chọn $n_0$

$n_0 = \left[ \frac{1}{a\varepsilon} \right]$

Kết luận:

Với mọi $n > n_0$, ta có $|q^n| < \frac{1}{na} < \varepsilon$.

Vậy theo định nghĩa:

$\mathbf{\lim_{n \to +\infty} q^n = 0}$.

Chứng minh: $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0$ (với $k$ là số nguyên dương)

Giải

Cho trước một số dương $\varepsilon$ tùy ý (dù nhỏ đến mức nào).

Cần tìm một số tự nhiên $n_0$ sao cho với mọi $n > n_0$, ta có $\left| \frac{1}{n^k} – 0 \right| < \varepsilon$.

Xét bất đẳng thức: $\left| \frac{1}{n^k} \right| < \varepsilon$.

Vì $n$ và $k$ đều dương, ta có: $\frac{1}{n^k} < \varepsilon \iff n^k > \frac{1}{\varepsilon}$.

Chọn $n_0$:

Ta chọn $n_0$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $\sqrt[k]{\frac{1}{\varepsilon}}$ (kí hiệu là $\left[ \sqrt[k]{\frac{1}{\varepsilon}} \right]$).

Kết luận:

Với mọi $n > n_0$, ta luôn có $n > \sqrt[k]{\frac{1}{\varepsilon}}$, dẫn đến $\frac{1}{n^k} < \varepsilon$. Theo định nghĩa, ta có: $\mathbf{\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0}$.

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$.

• a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.
• b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ $u_n$ đến $0$ nhỏ hơn 0,01?

Giải

a) Biểu diễn năm số hạng đầu trên trục số

Ta tính giá trị 5 số hạng đầu tiên:

• $u_1 = \frac{(-1)^1}{1} = -1$
• $u_2 = \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$
• $u_3 = \frac{(-1)^3}{3} = -\frac{1}{3} \approx -0,33$
• $u_4 = \frac{(-1)^4}{4} = \frac{1}{4} = 0,25$
• $u_5 = \frac{(-1)^5}{5} = -\frac{1}{5} = -0,2$

b) Tìm số hạng thỏa mãn khoảng cách đến 0 nhỏ hơn 0,01

Khoảng cách từ $u_n$ đến $0$ là $|u_n|$. Ta có:

$$|u_n| = \left| \frac{(-1)^n}{n} \right| = \frac{1}{n}$$

Để khoảng cách này nhỏ hơn 0,01, ta cần:

$$\frac{1}{n} < 0,01$$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{100}$$

$$\Leftrightarrow n > 100$$

(vì $n$ là số nguyên dương)

Kết luận:

Kể từ số hạng thứ 101 trở đi (tức là $n \ge 101$), khoảng cách từ $u_n$ đến $0$ sẽ nhỏ hơn 0,01.