Vì $n$ và $k$ đều dương, ta có: $\frac{1}{n^k} < \varepsilon \iff n^k > \frac{1}{\varepsilon}$.
Chọn $n_0$:
Ta chọn $n_0$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $\sqrt[k]{\frac{1}{\varepsilon}}$ (kí hiệu là $\left[ \sqrt[k]{\frac{1}{\varepsilon}} \right]$).
Kết luận:
Với mọi $n > n_0$, ta luôn có $n > \sqrt[k]{\frac{1}{\varepsilon}}$, dẫn đến $\frac{1}{n^k} < \varepsilon$. Theo định nghĩa, ta có: $\mathbf{\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0}$.
Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy: $SA \perp (ABC)$.
$M$ là trung điểm của cạnh $BC$.
Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAM)$.
b) Tam giác $SBC$ là tam giác cân tại $S$.
Bài giải
a) Chứng minh $BC \perp (SAM)$
Xét đáy $ABC$:
Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ và $M$ là trung điểm của $BC$, nên đường trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao của tam giác. $\Rightarrow BC \perp AM$ (1).
Xét quan hệ với đường cao $SA$:
Theo giả thiết, $SA \perp (ABC)$. Mà $BC$ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$.$\Rightarrow SA \perp BC$ hay $BC \perp SA$ (2).
Kết luận:
Trong mặt phẳng $(SAM)$, ta có $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau là $AM$ và $SA$ (tại điểm $A$).
Vậy $BC \perp (SAM)$ (Điều phải chứng minh).
b) Chứng minh tam giác $SBC$ cân tại $S$
Cách 1 (Sử dụng đường cao và trung tuyến):
Từ kết quả câu (a), ta có $BC \perp (SAM)$. Mà đường thẳng $SM$ nằm trong mặt phẳng $(SAM)$.
Suy ra $BC \perp SM$ tại $M$. Điều này có nghĩa $SM$ là đường cao của $\triangle SBC$.
Mặt khác, $M$ là trung điểm của $BC$ (giả thiết), nên $SM$ cũng là đường trung tuyến.
Trong $\triangle SBC$, đường trung tuyến $SM$ đồng thời là đường cao nên $\triangle SBC$ cân tại $S$ (Điều phải chứng minh).
Cách 2 (Sử dụng định lý Pitago ):
Xét $\triangle SAB$ và $\triangle SAC$ vuông tại $A$ (vì $SA \perp$ đáy).
Ta có: $SB^2 = SA^2 + AB^2$ và $SC^2 = SA^2 + AC^2$.
Bài 3.3: Thời gian ra sân (giờ) của một số cựu cầu thủ ở giải ngoại hạng Anh qua các thời kì được cho như sau: 653, 632, 609, 572, 565, 535, 516, 514, 508, 505, 504, 504, 503, 499, 496, 492. Yêu cầu: Hãy chuyển mẫu số liệu trên sang dạng ghép nhóm với bảy nhóm có độ dài bằng nhau.
Giải
Thông số: $x_{max} = 653$; $x_{min} = 492$; số nhóm $k = 7$.
Khoảng biến thiên: $R = 653 – 492 = 161$.
Độ dài nhóm: $L = 161 / 7 = 23$. Ta chọn luôn độ dài nhóm là 24 hoặc 25 để khoảng chia đẹp hơn. Ở đây ta dùng độ dài 25 và bắt đầu từ 475.
Bài 3.2. Số sản phẩm một công nhân làm được trong một ngày được cho như sau: 18, 25, 39, 12, 54, 27, 46, 25, 19, 8, 36, 22, 20, 19, 17, 44, 5, 18, 23, 28, 25, 34, 46, 27, 16.
Hãy chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm với sáu nhóm có độ dài bằng nhau.
Bài giải
Bước 1: Tìm khoảng biến thiên
Giá trị lớn nhất: $x_{max} = 54$.
Giá trị nhỏ nhất: $x_{min} = 5$.
Khoảng biến thiên: $R = 54 – 5 = 49$.
Bước 2: Xác định độ dài nhóm ($h$)
Theo đề bài, cần chia thành $k = 6$ nhóm.
Ta có: $R/6 = 49/6 \approx 8,16$.
Để thuận tiện và bao phủ hết các giá trị từ 5 đến 54, ta chọn độ dài mỗi nhóm là $h = 10$.
Các nhóm sẽ bắt đầu từ giá trị 0 (hoặc 5) để các khoảng được tròn trịa. Ta chọn bắt đầu từ 0.
Bước 3: Lập bảng tần số ghép nhóm
Các nhóm có độ dài 10 là: $[0; 10), [10; 20), [20; 30), [30; 40), [40; 50), [50; 60)$.
