Danh mục: TOÁN 11

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IX

A – TRẮC NGHIỆM

9.18. Quy tắc tính đạo hàm nào sau đây là đúng?

A. $(u+v)’ = u’ – v’$.

B. $(uv)’ = u’v + uv’$.

C. $\left(\dfrac{1}{v}\right)’ = -\dfrac{1}{v^2}$.

D. $\left(\dfrac{u}{v}\right)’ = \dfrac{u’v + uv’}{v^2}$.

9.19. Cho hàm số $f(x) = x^2 + \sin^3 x$. Khi đó $f’\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ bằng:

A. $\pi$.

B. $2\pi$.

C. $\pi + 3$.

D. $\pi – 3$.

9.20. Cho hàm số $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 – x^2 – 3x + 1$. Tập nghiệm của bất phương trình $f'(x) \leq 0$ là:

A. $[1; 3]$.

B. $[-1; 3]$.

C. $[-3; 1]$.

D. $[-3; -1]$.

9.21. Cho hàm số $f(x) = \sqrt{4 + 3u(x)}$ với $u(1) = 7, u'(1) = 10$. Khi đó $f'(1)$ bằng:

A. $1$.

B. $6$.

C. $3$.

D. $-3$.

9.22. Cho hàm số $f(x) = x^2 e^{-2x}$. Tập nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ là:

A. $\{0; 1\}$.

B. $\{-1; 0\}$.

C. $\{0\}$.

D. $\{1\}$.

9.23. Chuyển động của một vật có phương trình $s(t) = \sin\left(0,8\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)$, ở đó $s$ tính bằng centimét và thời gian $t$ tính bằng giây. Tại các thời điểm vận tốc bằng $0$, giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật gần với giá trị nào sau đây nhất?

A. $4,5 \text{ cm/s}^2$.

B. $5,5 \text{ cm/s}^2$.

C. $6,3 \text{ cm/s}^2$.

D. $7,1 \text{ cm/s}^2$.

9.24. Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 4x – 1$ có đồ thị là $(C)$. Hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến tại một điểm $M$ trên đồ thị $(C)$ là:

A. $1$.

B. $2$.

C. $-1$.

D. $3$.

---

B – TỰ LUẬN

9.25. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \left(\dfrac{2x – 1}{x + 2}\right)^5$;

b) $y = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$;

c) $y = e^x \sin^2 x$;

d) $y = \log(x + \sqrt{x})$.

9.26. Xét hàm số luỹ thừa $y = x^{\alpha}$ với $\alpha$ là số thực.

a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

b) Bằng cách viết $y = x^{\alpha} = e^{\alpha \ln x}$, tính đạo hàm của hàm số đã cho.

9.27. Cho hàm số $f(x) = \sqrt{3x + 1}$. Đặt $g(x) = f(1) + 4(x^2 – 1)f'(1)$. Tính $g(2)$.

9.28. Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x + 1}{x – 1}$. Tính $f”(1)$.

9.29. Cho hàm số $f(x)$ thoả mãn $f(1) = 2$ và $f'(x) = x^2 f(x)$ với mọi $x$. Tính $f”(1)$.

9.30. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 + 3x^2 – 1$ tại điểm có hoành độ bằng $1$.

9.31. Đồ thị của hàm số $y = \dfrac{a}{x}$ ($a$ là hằng số dương) là một đường hypebol. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.

9.32. Hình 9.10 biểu diễn đồ thị của ba hàm số. Hàm số thứ nhất là hàm vị trí của một chiếc ô tô, hàm số thứ hai biểu thị vận tốc và hàm số thứ ba biểu thị gia tốc của ô tô đó. Hãy xác định đồ thị của mỗi hàm số này và giải thích.

9.33. Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình: $s = f(t) = t^3 – 6t^2 + 9t$, trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét.

a) Tính vận tốc của vật tại các thời điểm $t = 2$ giây và $t = 4$ giây.

b) Tại những thời điểm nào vật đứng yên?

c) Tìm gia tốc của vật tại thời điểm $t = 4$ giây.

d) Tính tổng quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên.

e) Trong 5 giây đầu tiên, khi nào vật tăng tốc, khi nào vật giảm tốc?

9.13. Cho hàm số $f(x) = x^2 e^x$. Tính $f”(0)$.

9.14. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y = \ln(x + 1)$;

b) $y = \tan 2x$.

9.15. Cho hàm số $P(x) = ax^2 + bx + 3$ ($a, b$ là hằng số). Tìm $a, b$ biết $P'(1) = 0$ và $P”(1) = -2$.

9.16. Cho hàm số $f(x) = 2 \sin^2 \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$. Chứng minh rằng $|f”(x)| \leq 4$ với mọi $x$.

9.17. Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi $s(t) = 10 + 0,5 \sin \left( 2\pi t + \frac{\pi}{5} \right)$, trong đó $s$ tính bằng centimét và $t$ tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm $t = 5$ giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

9.1. Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = x^2 – x$ tại $x_0 = 1$;

b) $y = -x^3$ tại $x_0 = -1$.

9.2. Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = kx^2 + c$ (với $k, c$ là các hằng số);

b) $y = x^3$.

9.3. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y = -x^2 + 4x$, biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ $x_0 = 1$;

b) Tiếp điểm có tung độ $y_0 = 0$.

9.4. Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là $19,6$ m/s thì độ cao $h$ của nó (tính bằng mét) sau $t$ giây được cho bởi công thức $h = 19,6t – 4,9t^2$. Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

9.5. Một kỹ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên $L_1$ và đoạn dốc xuống $L_2$ là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là $0,5$ và $-0,75$. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, $L_1$ và $L_2$ phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp $P$ và $Q$ (H.9.6b). Giả sử gốc tọa độ đặt tại $P$ và phương trình của parabol là $y = ax^2 + bx + c$, trong đó $x$ tính bằng mét.

a) Tìm $c$.

b) Tính $y'(0)$ và tìm $b$.

c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa $P$ và $Q$ là $40$ m. Tìm $a$.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp $P$ và $Q$.

9.6. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = x^3 – 3x^2 + 2x + 1$;

b) $y = x^2 – 4\sqrt{x} + 3$.

9.7. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \frac{2x – 1}{x + 2}$;

b) $y = \frac{2x}{x^2 + 1}$.

9.8. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = x \sin^2 x$;

b) $y = \cos^2 x + \sin 2x$;

c) $y = \sin 3x – 3 \sin x$;

d) $y = \tan x + \cot x$.

9.9. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = 2^{3x – x^2}$;

b) $y = \log_3(4x + 1)$.

9.10. Cho hàm số $f(x) = 2 \sin^2 \left( 3x – \frac{\pi}{4} \right)$. Chứng minh rằng $|f'(x)| \leq 6$ với mọi $x$.

9.11. Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình $h(t) = 100 – 4,9t^2$, ở đó độ cao $h$ so với mặt đất tính bằng mét và thời gian $t$ tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:

a) Tại thời điểm $t = 5$ giây;

b) Khi vật chạm đất.

9.12. Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi $s(t) = 12 + 0,5 \sin(4\pi t)$, trong đó $s$ tính bằng centimét và $t$ tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau $t$ giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu?

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VIII

A – TRẮC NGHIỆM

Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu hỏi trong các Bài 8.16, 8.17.

Một hộp đựng 20 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Gọi $A$ là biến cố “Rút được tấm thẻ ghi số chẵn lớn hơn 9”; $B$ là biến cố “Rút được tấm thẻ ghi số không nhỏ hơn 8 và không lớn hơn 15”.

8.16. Số phần tử của $A \cup B$ là

A. 11.

B. 10.

C. 12.

D. 13.

8.17. Số phần tử của $AB$ là

A. 5.

B. 6.

C. 3.

D. 4.

Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu hỏi trong các Bài 8.18, 8.19.

Tại một hội thảo quốc tế có 50 nhà khoa học, trong đó có 31 người thành thạo tiếng Anh, 21 người thành thạo tiếng Pháp và 5 người thành thạo cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một người trong hội thảo.

8.18. Xác suất để người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc Pháp là

A. $\frac{47}{50}$

B. $\frac{37}{50}$

C. $\frac{39}{50}$

D. $\frac{41}{50}$

8.19. Xác suất để người được chọn không thành thạo cả hai thứ tiếng Anh hay Pháp là

A. $\frac{7}{50}$

B. $\frac{3}{50}$

C. $\frac{9}{50}$

D. $\frac{11}{50}$

Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu hỏi trong các Bài 8.20, 8.21.

Một lớp có 40 học sinh, trong đó có 23 học sinh thích bóng chuyền, 18 học sinh thích bóng rổ, 26 học sinh thích bóng chuyền hoặc bóng rổ hoặc cả hai. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp.

8.20. Xác suất để chọn được học sinh không thích cả bóng chuyền và bóng rổ là

A. $\frac{18}{40}$

B. $\frac{14}{40}$

C. $\frac{19}{40}$

D. $\frac{21}{40}$

8.21. Xác suất để chọn được học sinh thích bóng chuyền và không thích bóng rổ là

A. $\frac{7}{40}$

B. $\frac{9}{40}$

C. $\frac{8}{40}$

D. $\frac{11}{40}$

---

B – TỰ LUẬN

8.22. Hai vận động viên bắn súng $A$ và $B$ mỗi người bắn một viên đạn vào tấm bia một cách độc lập. Xét các biến cố sau:

$M$: “Vận động viên $A$ bắn trúng vòng 10”;

$N$: “Vận động viên $B$ bắn trúng vòng 10”.

Hãy biểu diễn các biến cố sau theo biến cố $M$ và $N$:

• $C$: “Có ít nhất một vận động viên bắn trúng vòng 10”;
• $D$: “Cả hai vận động viên bắn trúng vòng 10”;
• $E$: “Cả hai vận động viên đều không bắn trúng vòng 10”;
• $F$: “Vận động viên $A$ bắn trúng và vận động viên $B$ không bắn trúng vòng 10”;
• $G$: “Chỉ có duy nhất một vận động viên bắn trúng vòng 10”.

8.23. Một đoàn khách du lịch gồm 31 người, trong đó có 7 người đến từ Hà Nội, 5 người đến từ Hải Phòng. Chọn ngẫu nhiên một người trong đoàn. Tính xác suất để người đó đến từ Hà Nội hoặc đến từ Hải Phòng.

8.24. Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau:

$A$: “Ở lần gieo thứ nhất, số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 1”;

$B$: “Ở lần gieo thứ hai, số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 2”;

$C$: “Tổng số chấm xuất hiện trên con xúc xắc ở hai lần gieo là 8”;

$D$: “Tổng số chấm xuất hiện trên con xúc xắc ở hai lần gieo là 7”.

Chứng tỏ rằng các cặp biến cố $A$ và $C$; $B$ và $C$; $C$ và $D$ không độc lập.

8.25. Hai chuyến bay của hai hãng hàng không $X$ và $Y$, hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để chuyến bay của hãng $X$ và hãng $Y$ khởi hành đúng giờ tương ứng là 0,92 và 0,98. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để:

a) Cả hai chuyến bay khởi hành đúng giờ;

b) Chỉ có duy nhất một trong hai chuyến bay khởi hành đúng giờ;

c) Có ít nhất một trong hai chuyến bay khởi hành đúng giờ.

8.11. Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc với $P(A) > 0, P(B) > 0$. Chứng tỏ rằng hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập.

8.12. Một thùng đựng 60 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 60. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong thùng. Xét hai biến cố sau:

$A$: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 60” và $B$: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 48”.

Chứng tỏ rằng $A$ và $B$ là hai biến cố không độc lập.

8.13. Có hai túi đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có 3 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu đỏ. Túi II có 10 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Tính xác suất để:

a) Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh;

b) Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ;

c) Hai viên bi được lấy có cùng màu;

d) Hai viên bi được lấy không cùng màu.

8.14. Có hai túi mỗi túi đựng 10 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 10. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5.

8.15. Trong đợt kiểm tra cuối học kì II lớp 11 của các trường trung học phổ thông, thống kê cho thấy có $93\%$ học sinh tỉnh X đạt yêu cầu; $87\%$ học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X và một học sinh của tỉnh Y. Giả thiết rằng chất lượng học tập của hai tỉnh là độc lập. Tính xác suất để:

a) Cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu;

b) Cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu;

c) Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu;

d) Có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu.

BÀI TẬP

8.6. Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp (lấy xong không trả lại vào hộp). Tiếp đó đến lượt bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh.

---

8.7. Lớp 11A của một trường có 40 học sinh, trong đó có 14 bạn thích nhạc cổ điển, 13 bạn thích nhạc trẻ và 5 bạn thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp. Tính xác suất để:

a) Bạn đó thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ;

b) Bạn đó không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ.

---

8.8. Một khu phố có 50 hộ gia đình nuôi chó hoặc nuôi mèo, trong đó có 18 hộ nuôi chó, 16 hộ nuôi mèo và 7 hộ nuôi cả chó và mèo. Chọn ngẫu nhiên một hộ trong khu phố trên. Tính xác suất để:

a) Hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo;

b) Hộ đó không nuôi cả chó và mèo.

---

8.9. Một nhà xuất bản phát hành hai cuốn sách $A$ và $B$. Thống kê cho thấy có 50% người mua sách $A$; 70% người mua sách $B$; 30% người mua cả sách $A$ và sách $B$. Chọn ngẫu nhiên một người mua. Tính xác suất để:

a) Người mua đó mua ít nhất một trong hai sách $A$ hoặc $B$;

b) Người mua đó không mua cả sách $A$ và sách $B$.

---

8.10. Tại các trường trung học phổ thông của một tỉnh, thống kê cho thấy có 63% giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa $A$, 56% giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa $B$ và 28,5% giáo viên môn Toán tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa $A$ và $B$. Tính tỉ lệ giáo viên môn Toán các trường trung học phổ thông của tỉnh đó không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa $A$ và $B$.

BÀI TẬP

8.1. Một hộp đựng 15 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 15. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ và quan sát số ghi trên thẻ. Gọi $A$ là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ nhỏ hơn 7”; $B$ là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số nguyên tố”.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Mỗi biến cố $A \cup B$ và $AB$ là tập con nào của không gian mẫu?

---

8.2. Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố sau:

$E$: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đều là số chẵn”;

$F$: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc khác tính chẵn lẻ”;

$K$: “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số chẵn”.

Chứng minh rằng $K$ là biến cố hợp của $E$ và $F$.

---

8.3. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường em. Xét hai biến cố sau:

$P$: “Học sinh đó bị cận thị”;

$Q$: “Học sinh đó học giỏi môn Toán”.

Nêu nội dung của các biến cố $P \cup Q$; $PQ$ và $\overline{P}\overline{Q}$.

---

8.4. Có hai chuồng nuôi thỏ. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 3 con thỏ trắng và 7 con thỏ đen. Từ mỗi chuồng bắt ngẫu nhiên ra một con thỏ. Xét hai biến cố sau:

$A$: “Bắt được con thỏ trắng từ chuồng I”;

$B$: “Bắt được con thỏ đen từ chuồng II”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố $A$ và $B$ độc lập.

---

8.5. Có hai chuồng nuôi gà. Chuồng I có 9 con gà mái và 3 con gà trống. Chuồng II có 3 con gà mái và 6 con gà trống. Bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng I để đem bán rồi dồn các con gà còn lại của chuồng I vào chuồng II. Sau đó bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng II. Xét hai biến cố sau:

$E$: “Bắt được con gà trống từ chuồng I”;

$F$: “Bắt được con gà mái từ chuồng II”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố $E$ và $F$ không độc lập.

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VII

A – TRẮC NGHIỆM

7.33. Cho các phát biểu sau:

1. Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có giao tuyến là đường thẳng $a$ và cùng vuông góc với mặt phẳng $(R)$ thì $a \perp (R)$.
2. Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau và có giao tuyến là đường thẳng $a$, một đường thẳng $b$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và vuông góc với đường thẳng $a$ thì $b \perp (Q)$.
3. Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $a$ và $a$ vuông góc với $(Q)$ thì $(P) \perp (Q)$.
4. Đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ thì $a \perp (Q)$.

Số phát biểu đúng trong các phát biểu trên là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

7.34. Cho mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ và $a$ là giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$. Trong các phát biểu dưới đây, phát biểu nào đúng?

A. Đường thẳng $d$ nằm trên $(Q)$ thì $d$ vuông góc với $(P)$.

B. Đường thẳng $d$ nằm trên $(Q)$ và $d$ vuông góc với $a$ thì $d$ vuông góc với $(P)$.

C. Đường thẳng $d$ vuông góc với $a$ thì $d$ vuông góc với $(P)$.

D. Đường thẳng $d$ vuông góc với $(Q)$ thì $d$ vuông góc với $(P)$.

7.35. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Số đo của góc nhị diện $[S, AB, C]$ bằng $\widehat{SBC}$.

B. Số đo của góc nhị diện $[D, SA, B]$ bằng $90^\circ$.

C. Số đo của góc nhị diện $[S, AC, B]$ bằng $90^\circ$.

D. Số đo của góc nhị diện $[D, SA, B]$ bằng $\widehat{BSD}$.

7.36. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và $SA \perp (ABCD)$. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$.

B. Đường thẳng $BD$ vuông góc với mặt phẳng $(SAC)$.

C. Đường thẳng $AC$ vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$.

D. Đường thẳng $AD$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$.

7.37. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng $S$, chiều cao bằng $h$ là:

A. $V = S \cdot h$.

B. $V = \frac{1}{2} S \cdot h$.

C. $V = \frac{1}{3} S \cdot h$.

D. $V = \frac{2}{3} S \cdot h$.

B – TỰ LUẬN

7.38. Cho tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OA = a$, $OB = a\sqrt{2}$ và $OC = 2a$. Tính khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$.

7.39. Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $ABC$ cân tại $A$, tam giác $BCD$ cân tại $D$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC$.

• a) Chứng minh rằng $BC \perp (AID)$.
• b) Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $AID$. Chứng minh rằng $AH \perp (BCD)$.
• c) Kẻ đường cao $IJ$ của tam giác $AID$. Chứng minh rằng $IJ$ là đường vuông góc chung của $AD$ và $BC$.

7.40. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B, BC = a$ và $\widehat{CAB} = 30^\circ$. Biết $SA \perp (ABC)$ và $SA = a\sqrt{2}$.

• a) Chứng minh rằng $(SBC) \perp (SAB)$.
• b) Tính theo $a$ khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $SC$ và khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

7.41. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Biết tam giác $SAD$ vuông cân tại $S$ và $(SAD) \perp (ABCD)$.

• a) Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.ABCD$.
• b) Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SC$.

7.42. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$, $AA’ \perp (ABCD)$ và $\widehat{BAD} = 60^\circ$.

• a) Tính thể tích của khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$.
• b) Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A’BD)$.

7.43. Cho hình lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$. Biết $A’.ABCD$ là hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng $a$. Tính theo $a$ thể tích của khối lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$ và thể tích của khối chóp $A’.BB’C’C$.

7.44. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân, $AB \parallel CD$ và $AB = BC = DA = a, CD = 2a$. Biết hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$. Tính theo $a$ khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABCD)$ và thể tích của khối chóp $S.ABCD$.

7.45. Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột $AB$ có chiều dài bằng $10\text{ m}$ và tạo với mặt đất góc $80^\circ$. Tại một thời điểm dưới ánh sáng mặt trời, bóng $BC$ của cây cột trên mặt đất dài $12\text{ m}$ và tạo với cây cột một góc bằng $120^\circ$ (tức là $\widehat{ABC} = 120^\circ$). Tính góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên.

7.28. Cho khối chóp đều $S.ABC$, đáy có cạnh bằng $a$, cạnh bên bằng $b$. Tính thể tích của khối chóp đó. Từ đó suy ra thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng $a$.

7.29. Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có $AA’ = 5 \text{ cm}$, $AB = 6 \text{ cm}$, $BC = 2 \text{ cm}$, $\widehat{ABC} = 150^\circ$. Tính thể tích của khối lăng trụ.

7.30. Cho khối chóp đều $S.ABCD$, đáy có cạnh $6 \text{ cm}$. Tính thể tích của khối chóp đó trong các trường hợp sau:

a) Cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng $60^\circ$.

b) Mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng $45^\circ$.

7.31. Cho khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có đáy là các tam giác đều cạnh $a$, $A’A = A’B = A’C = b$. Tính thể tích của khối lăng trụ.

7.32. Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh $8 \text{ dm}$, bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc, sau đó bác hàn các mép lại để được một chiếc thùng (không có nắp) như Hình 7.99.

a) Giải thích vì sao chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.

b) Tính cạnh bên của thùng.

c) Hỏi thùng có thể chứa được nhiều nhất bao nhiêu lít nước?