7.4. Đối với nhà gỗ truyền thống, trong các cấu kiện: hoành, quá giang, xà cái, rui, cột tương ứng được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 như trong Hình 7.8, những cặp cấu kiện nào vuông góc với nhau?
6.38. Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hoá và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là $5\%$ một năm thì sức mua của 1 triệu đồng sau một năm chỉ còn là 950 nghìn đồng (vì đã giảm mất $5\%$ của 1 triệu đồng, tức là 50 000 đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là $r\%$ một năm thì tổng số tiền $P$ ban đầu, sau $n$ năm số tiền đó chỉ còn giá trị là:
$$A = P \cdot \left( 1 – \frac{r}{100} \right)^n$$
a) Nếu tỉ lệ lạm phát là $8\%$ một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm còn lại bao nhiêu?
b) Nếu sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm chỉ còn là 90 triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó là bao nhiêu?
6.39. Tăng trưởng vi khuẩn:
Số lượng vi khuẩn $N(t)$ sau $t$ giờ được tính theo công thức $N(t) = N_0 e^{rt}$. Giả sử ban đầu có 500 con và sau 1 giờ tăng lên 800 con.
a) Sau 5 giờ số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?
b) Sau bao lâu số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi so với ban đầu?
6.40. Định luật Benford:
Xác suất để chữ số $d$ là chữ số đầu tiên của một bộ số được tính bởi: $P = \log \frac{d+1}{d}$.
a) Viết công thức tìm chữ số $d$ nếu cho trước xác suất $P$.
6.23. Lãi suất ngân hàng: Bác Minh gửi tiết kiệm 500 triệu đồng với lãi suất 7,5%/năm theo thể thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Công thức tổng số tiền sau $n$ năm là $A = 500 \cdot (1 + 0,075)^n$. Tính thời gian tối thiểu để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng.
6.24. Sự tăng trưởng vi khuẩn: Số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con, tỉ lệ tăng trưởng 40% mỗi giờ. Số lượng sau $t$ giờ là $N(t) = 500 e^{0,4t}$. Sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn vượt mức 80.000 con?
6.25. Sự giảm nhiệt độ: Nhiệt độ $T$ (°C) của một vật giảm theo thời gian $t$ (phút) bởi công thức $T = 25 + 70 e^{-0,5t}$.
a) Tìm nhiệt độ ban đầu của vật.
b) Sau bao lâu nhiệt độ của vật còn lại 30 °C?
6.26. Hóa học: Tính nồng độ ion hydrogen (mol/lít) của một dung dịch có độ pH là 8.
Công thức tính độ cao $a$ (mét) so với mực nước biển dựa trên áp suất $p$ (pascal) là: $a = 15\,500(5 – \log p)$. Tính áp suất không khí tại đỉnh Everest có độ cao $8\,850$ m.
6.14. Mức cường độ âm:
Mức cường độ âm $L$ (dB) được tính bởi công thức $L(I) = 10 \log \frac{I}{I_0}$ với $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$. Xác định mức cường độ âm của:
a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ $I = 10^{-7} \text{ W/m}^2$.
b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ $I = 10^{-3} \text{ W/m}^2$.
b) $\left( \frac{1}{2} \right)^{-\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$
6.7. Bài toán lãi suất:
Nếu một khoản tiền gốc $P$ được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm $r$ ($r$ được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi $n$ lần trong một năm, thì tổng số tiền $A$ nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau $N$ kì gửi cho bởi công thức:
$$A = P\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^N$$
Bài toán: Bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5% một năm. Hỏi số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?
6.8. Bài toán dân số:
Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số $A$ (triệu người) của quốc gia đó sau $t$ năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức $A = 19 \cdot 2^{\frac{t}{30}}$.
Bài toán: Với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).
a) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + n + 1}{2n^2 + 1}$;
b) $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n^2 + 2n} – n)$.
5.2. Cho hai dãy số không âm $(u_n)$ và $(v_n)$ với $\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$ và $\lim_{n \to +\infty} v_n = 3$. Tìm các giới hạn sau:
a) $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n^2}{v_n – u_n}$;
b) $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{u_n + 2v_n}$.
5.3. Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:
a) $u_n = \frac{n^2 + 1}{2n – 1}$;
b) $v_n = \sqrt{2n^2 + 1} – n$.
5.4. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:
a) $1,(12) = 1,121212…$;
b) $3,(102) = 3,102102102…$
5.5. Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc $150$ mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn $5\%$. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.
5.6. Cho tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$, có $AB = h$ và góc $B$ bằng $\alpha$ (H.5.3). Từ $A$ kẻ $AA_1 \perp BC$, từ $A_1$ kẻ $A_1A_2 \perp AC$, sau đó lại kẻ $A_2A_3 \perp BC$. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn $AA_1A_2A_3…$ Tính độ dài đường gấp khúc này theo $h$ và $\alpha$.
5.7. Cho hai hàm số $f(x) = \frac{x^2 – 1}{x – 1}$ và $g(x) = x + 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
a) $f(x) = g(x)$;
b) $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} g(x)$.
5.8. Tính các giới hạn sau:
a) $\lim_{x \to 0} \frac{(x + 2)^2 – 4}{x}$;
b) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 9} – 3}{x^2}$.
5.9. Cho hàm số $H(t) = \begin{cases} 0 & \text{nếu } t < 0 \\ 1 & \text{nếu } t \geq 0 \end{cases}$ (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thời điểm $t = 0$).
Tính $\lim_{t \to 0^+} H(t)$ và $\lim_{t \to 0^-} H(t)$.
5.10. Tính các giới hạn một bên:
a) $\lim_{x \to 1^+} \frac{x – 2}{x – 1}$;
b) $\lim_{x \to 4^-} \frac{x^2 – x + 1}{4 – x}$.
5.11. Cho hàm số $g(x) = \frac{x^2 – 5x + 6}{|x – 2|}$.
Tìm $\lim_{x \to 2^+} g(x)$ và $\lim_{x \to 2^-} g(x)$.
5.12. Tính các giới hạn sau:
a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{1 – 2x}{\sqrt{x^2 + 1}}$;
b) $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x + 2} – x)$.
5.13. Cho hàm số $f(x) = \frac{2}{(x – 1)(x – 2)}$.
Tìm $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ và $\lim_{x \to 2^-} f(x)$.
5.18. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \sqrt{n^2 + 1} – \sqrt{n}$. Mệnh đề đúng là:
A. $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
B. $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$.
C. $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
D. $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.
5.19. Cho $u_n = \frac{2 + 2^2 + \dots + 2^n}{2^n}$. Giới hạn của dãy số $(u_n)$ bằng:
A. 1.
B. 2.
C. -1.
D. 0.
5.20. Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ với $u_n = \frac{2}{3^n}$. Tổng của cấp số nhân này bằng:
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 6.
5.21. Cho hàm số $f(x) = \sqrt{x + 1} – \sqrt{x + 2}$. Mệnh đề đúng là:
A. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.
B. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.
C. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -1$.
D. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\frac{1}{2}$.
5.22. Cho hàm số $f(x) = \frac{x – x^2}{|x|}$. Khi đó $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ bằng:
A. 0.
B. 1.
C. $+\infty$.
D. -1.
5.23. Cho hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{|x + 1|}$. Hàm số $f(x)$ liên tục trên:
A. $(-\infty; +\infty)$.
B. $(-\infty; -1]$.
C. $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
D. $[-1; +\infty)$.
5.24. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + x – 2}{x – 1} & \text{nếu } x \neq 1 \\ a & \text{nếu } x = 1 \end{cases}$. Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$ khi:
A. $a = 0$.
B. $a = 3$.
C. $a = -1$.
D. $a = 1$.
B – TỰ LUẬN
5.25. Cho dãy số $(u_n)$ có tính chất $|u_n – 1| < \frac{2}{n}$. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?
5.26. Tìm giới hạn của các dãy số sau:
a) $u_n = \frac{n^2}{3n^2 + 7n – 2}$;
b) $v_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{3^k + 5^k}{6^k}$;
c) $w_n = \frac{\sin n}{4n}$.
5.27. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:
5.30. Chứng minh rằng giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ không tồn tại.
5.31. Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho:
a) $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & \text{nếu } x \neq 0 \\ 1 & \text{nếu } x = 0 \end{cases}$ tại điểm $x = 0$;
b) $g(x) = \begin{cases} 1 + x & \text{nếu } x < 1 \\ 2 – x & \text{nếu } x \ge 1 \end{cases}$ tại điểm $x = 1$.
5.32. Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách $r$ tính từ tâm Trái Đất là:
$$F(r) = \begin{cases} \frac{GMr}{R^3} & \text{nếu } r < R \\ \frac{GM}{r^2} & \text{nếu } r \ge R \end{cases}$$
Trong đó $M$ và $R$ lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, $G$ là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số $F(r)$.
5.33. Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng:
a) $f(x) = \frac{\cos x}{x^2 + 5x + 6}$;
b) $g(x) = \frac{x – 2}{\sin x}$.
5.34. Tìm các giá trị của $a$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{nếu } x \le a \\ x^2 & \text{nếu } x > a \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
