Blog

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VI

A – TRẮC NGHIỆM

6.27. Cho hai số thực dương $x, y$ và hai số thực $\alpha, \beta$ tùy ý. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $x^{\alpha} \cdot x^{\beta} = x^{\alpha+\beta}$

B. $x^{\alpha} \cdot y^{\beta} = (xy)^{\alpha+\beta}$

C. $(x^{\alpha})^{\beta} = x^{\alpha \cdot \beta}$

D. $(xy)^{\alpha} = x^{\alpha} \cdot y^{\alpha}$

6.28. Rút gọn biểu thức $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} : x^{\frac{5}{8}}$ ($x > 0$) ta được:

A. $\sqrt[4]{x}$

B. $\sqrt{x}$

C. $\sqrt[8]{x}$

D. $\sqrt[6]{x}$

6.29. Cho hai số thực dương $a, b$ với $a \neq 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\log_a(a^3b^2) = 3 + \log_a b$

B. $\log_a(a^3b^2) = 3 + 2\log_a b$

C. $\log_a(a^3b^2) = \frac{3}{2} + \log_a b$

D. $\log_a(a^3b^2) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\log_a b$

6.30. Cho bốn số thực dương $a, b, x, y$ với $a, b \neq 1$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$

B. $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x – \log_a y$

C. $\log_a \frac{1}{x} = \frac{1}{\log_a x}$

D. $\log_a b \cdot \log_b x = \log_a x$

6.31. Đặt $\log_2 5 = a, \log_3 5 = b$. Khi đó, $\log_6 5$ tính theo $a$ và $b$ bằng:

A. $\frac{ab}{a+b}$

B. $\frac{1}{a+b}$

C. $a^2 + b^2$

D. $a + b$

6.32. Cho hàm số $y = 2^x$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

B. Tập giá trị của hàm số là $(0; +\infty)$.

C. Đồ thị của hàm số cắt trục $Ox$ tại đúng một điểm.

D. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

6.33. Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?

A. $y = \log_{0,5} x$ B. $y = e^{-x}$ C. $y = \left( \frac{1}{3} \right)^x$ D. $y = \ln x$

6.34. Cho đồ thị ba hàm số $y = \log_a x, y = \log_b x$ và $y = \log_c x$ như hình bên dưới. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $a > b > c$

B. $b > a > c$

C. $a > c > b$

D. $b > c > a$

---

B – TỰ LUẬN

6.35. Cho $0 < a \neq 1$. Tính giá trị của biểu thức:

$$B = \log_a \left( \frac{a^2 \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[4]{a}} \right) + a^{2\log_a \frac{\sqrt{105}}{30}}$$

6.36. Giải các phương trình sau:

a) $3^{1-2x} = 4^x$

b) $\log_3(x+1) + \log_3(x+4) = 2$

6.37. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{4^x – 2^{x+1}}$

b) $y = \ln(1 – \ln x)$

6.38. Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hoá và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là $5\%$ một năm thì sức mua của 1 triệu đồng sau một năm chỉ còn là 950 nghìn đồng (vì đã giảm mất $5\%$ của 1 triệu đồng, tức là 50 000 đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là $r\%$ một năm thì tổng số tiền $P$ ban đầu, sau $n$ năm số tiền đó chỉ còn giá trị là:

$$A = P \cdot \left( 1 – \frac{r}{100} \right)^n$$

a) Nếu tỉ lệ lạm phát là $8\%$ một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm còn lại bao nhiêu?

b) Nếu sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm chỉ còn là 90 triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó là bao nhiêu?

6.39. Tăng trưởng vi khuẩn:

Số lượng vi khuẩn $N(t)$ sau $t$ giờ được tính theo công thức $N(t) = N_0 e^{rt}$. Giả sử ban đầu có 500 con và sau 1 giờ tăng lên 800 con.

a) Sau 5 giờ số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?

b) Sau bao lâu số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi so với ban đầu?

6.40. Định luật Benford:

Xác suất để chữ số $d$ là chữ số đầu tiên của một bộ số được tính bởi: $P = \log \frac{d+1}{d}$.

a) Viết công thức tìm chữ số $d$ nếu cho trước xác suất $P$.

b) Tìm chữ số có xác suất bằng $9,7\%$ được chọn.

c) Tính xác suất để chữ số đầu tiên là 1.

6.20. Giải các phương trình sau:

a) $3^{x-1} = 27$

b) $100^{2x^2 – 3} = 0,1^{2x^2 – 18}$

c) $\sqrt{3} e^{3x} = 1$

d) $5^x = 3^{2x-1}$

6.21. Giải các phương trình sau:

a) $\log(x + 1) = 2$

b) $2\log_4 x + \log_2 (x – 3) = 2$

c) $\ln x + \ln(x – 1) = \ln 4x$

d) $\log_3 (x^2 – 3x + 2) = \log_3 (2x – 4)$

6.22. Giải các bất phương trình sau:

a) $0,1^{2-x} > 0,1^{4+2x}$

b) $2 \cdot 5^{2x+1} \leq 3$

c) $\log_3 (x + 7) \geq -1$

d) $\log_{0,5} (x + 7) \geq \log_{0,5} (2x – 1)$

---

5. Bài toán ứng dụng thực tế

6.23. Lãi suất ngân hàng: Bác Minh gửi tiết kiệm 500 triệu đồng với lãi suất 7,5%/năm theo thể thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Công thức tổng số tiền sau $n$ năm là $A = 500 \cdot (1 + 0,075)^n$. Tính thời gian tối thiểu để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng.

6.24. Sự tăng trưởng vi khuẩn: Số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con, tỉ lệ tăng trưởng 40% mỗi giờ. Số lượng sau $t$ giờ là $N(t) = 500 e^{0,4t}$. Sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn vượt mức 80.000 con?

6.25. Sự giảm nhiệt độ: Nhiệt độ $T$ (°C) của một vật giảm theo thời gian $t$ (phút) bởi công thức $T = 25 + 70 e^{-0,5t}$.

a) Tìm nhiệt độ ban đầu của vật.

b) Sau bao lâu nhiệt độ của vật còn lại 30 °C?

6.26. Hóa học: Tính nồng độ ion hydrogen (mol/lít) của một dung dịch có độ pH là 8.

6.15 & 6.16. Vẽ đồ thị:

a) $y = 3^x$ và $y = \left( \frac{1}{3} \right)^x$

b) $y = \log x$ và $y = \log_{\frac{1}{3}} x$

6.17. Tìm tập xác định:

a) $y = \log|x + 3|$

b) $y = \ln(4 – x^2)$

6.18. Phân rã phóng xạ: Cho hàm khối lượng còn lại $m(t) = 13e^{-0,015t}$ (kg).

a) Tìm khối lượng tại thời điểm $t = 0$.

b) Sau 45 ngày khối lượng còn lại bao nhiêu?

6.19. Khả năng ghi nhớ: Khả năng nhớ trung bình sau $t$ tháng được tính theo $M(t) = 75 – 20\ln(t + 1)$ (đơn vị: %). Tính khả năng nhớ sau 6 tháng.

6.9. Tính giá trị biểu thức:

a) $\log_2 2^{-13}$

b) $\ln e^{\sqrt{2}}$

c) $\log_8 16 – \log_8 2$

d) $\log_2 6 \cdot \log_6 8$

6.10. Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

a) $A = \ln \left( \frac{x}{x-1} \right) + \ln \left( \frac{x+1}{x} \right) – \ln(x^2 – 1)$

b) $B = 21 \log_3 \sqrt[7]{x} + \log_3(9x^2) – \log_3 9$

6.11. Rút gọn các biểu thức:

a) $A = \log_{\frac{1}{3}} 5 + 2\log_9 25 – \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{5}$

b) $B = \log_a M^2 + \log_{a^2} M^4$

6.12. Tính giá trị của các biểu thức:

a) $A = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 8$

b) $B = \log_2 2 \cdot \log_2 4 \cdots \log_2 2^n$

6.13. Bài toán áp suất không khí:

Công thức tính độ cao $a$ (mét) so với mực nước biển dựa trên áp suất $p$ (pascal) là: $a = 15\,500(5 – \log p)$. Tính áp suất không khí tại đỉnh Everest có độ cao $8\,850$ m.

6.14. Mức cường độ âm:

Mức cường độ âm $L$ (dB) được tính bởi công thức $L(I) = 10 \log \frac{I}{I_0}$ với $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$. Xác định mức cường độ âm của:

a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ $I = 10^{-7} \text{ W/m}^2$.

b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ $I = 10^{-3} \text{ W/m}^2$.

6.1. Tính:

a) $\left( \frac{1}{5} \right)^{-2}$

b) $4^{\frac{3}{2}}$

c) $\left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{2}{3}}$

d) $\left( \frac{1}{16} \right)^{-0,75}$

6.2. Thực hiện phép tính:

a) $27^{\frac{2}{3}} + 81^{-0,75} – 25^{0,5}$

b) $4^{2 – 3\sqrt{7}} \cdot 8^{2\sqrt{7}}$

6.3. Rút gọn các biểu thức sau ($x, y \neq 0$):

a) $A = \frac{x^5 y^{-2}}{x^3 y}$

b) $B = \frac{x^2 y^{-3}}{(x^{-1} y^4)^{-3}}$

6.4. Cho $x, y$ là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y} + y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}$

b) $B = \left( \frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}} \right)^{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

6.5. Chứng minh rằng:

$$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} – \sqrt{4 – 2\sqrt{3}} = 2$$

6.6. Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

a) $5^{6\sqrt{3}}$ và $5^{3\sqrt{6}}$

b) $\left( \frac{1}{2} \right)^{-\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

6.7. Bài toán lãi suất:

Nếu một khoản tiền gốc $P$ được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm $r$ ($r$ được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi $n$ lần trong một năm, thì tổng số tiền $A$ nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau $N$ kì gửi cho bởi công thức:

$$A = P\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^N$$

• Bài toán: Bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5% một năm. Hỏi số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?

6.8. Bài toán dân số:

Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số $A$ (triệu người) của quốc gia đó sau $t$ năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức $A = 19 \cdot 2^{\frac{t}{30}}$.

• Bài toán: Với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).

BÀI TẬP

5.1. Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + n + 1}{2n^2 + 1}$;

b) $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n^2 + 2n} – n)$.

5.2. Cho hai dãy số không âm $(u_n)$ và $(v_n)$ với $\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$ và $\lim_{n \to +\infty} v_n = 3$. Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n^2}{v_n – u_n}$;

b) $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{u_n + 2v_n}$.

5.3. Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:

a) $u_n = \frac{n^2 + 1}{2n – 1}$;

b) $v_n = \sqrt{2n^2 + 1} – n$.

5.4. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) $1,(12) = 1,121212…$;

b) $3,(102) = 3,102102102…$

5.5. Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc $150$ mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn $5\%$. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

5.6. Cho tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$, có $AB = h$ và góc $B$ bằng $\alpha$ (H.5.3). Từ $A$ kẻ $AA_1 \perp BC$, từ $A_1$ kẻ $A_1A_2 \perp AC$, sau đó lại kẻ $A_2A_3 \perp BC$. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn $AA_1A_2A_3…$ Tính độ dài đường gấp khúc này theo $h$ và $\alpha$.

5.7. Cho hai hàm số $f(x) = \frac{x^2 – 1}{x – 1}$ và $g(x) = x + 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) $f(x) = g(x)$;

b) $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} g(x)$.

5.8. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to 0} \frac{(x + 2)^2 – 4}{x}$;

b) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 9} – 3}{x^2}$.

5.9. Cho hàm số $H(t) = \begin{cases} 0 & \text{nếu } t < 0 \\ 1 & \text{nếu } t \geq 0 \end{cases}$ (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thời điểm $t = 0$).

Tính $\lim_{t \to 0^+} H(t)$ và $\lim_{t \to 0^-} H(t)$.

5.10. Tính các giới hạn một bên:

a) $\lim_{x \to 1^+} \frac{x – 2}{x – 1}$;

b) $\lim_{x \to 4^-} \frac{x^2 – x + 1}{4 – x}$.

5.11. Cho hàm số $g(x) = \frac{x^2 – 5x + 6}{|x – 2|}$.

Tìm $\lim_{x \to 2^+} g(x)$ và $\lim_{x \to 2^-} g(x)$.

5.12. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{1 – 2x}{\sqrt{x^2 + 1}}$;

b) $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x + 2} – x)$.

5.13. Cho hàm số $f(x) = \frac{2}{(x – 1)(x – 2)}$.

Tìm $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ và $\lim_{x \to 2^-} f(x)$.

BÀI TẬP

Bài 5.14. Cho $f(x)$ và $g(x)$ là các hàm số liên tục tại $x = 1$. Biết $f(1) = 2$ và $\lim_{x \to 1} [2f(x) – g(x)] = 3$. Tính $g(1)$.

---

Bài 5.15. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

• a) $f(x) = \frac{x}{x^2 + 5x + 6}$
• b) $f(x) = \begin{cases} 1 + x^2 & \text{nếu } x < 1 \\ 4 – x & \text{nếu } x \ge 1 \end{cases}$

---

Bài 5.16. Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số

$$f(x) = \begin{cases} \sin x & \text{nếu } x \ge 0 \\ -x + m & \text{nếu } x < 0 \end{cases}$$

liên tục trên $\mathbb{R}$.

---

Bài 5.17. Một bảng giá cước taxi được cho như sau:

Giá mở cửa (0,5 km đầu)	Giá cước các km tiếp theo đến 30 km	Giá cước từ km thứ 31
10 000 đồng	13 500 đồng	11 000 đồng

• a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.
• b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V

A – TRẮC NGHIỆM

5.18. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \sqrt{n^2 + 1} – \sqrt{n}$. Mệnh đề đúng là:

• A. $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
• B. $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$.
• C. $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
• D. $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

5.19. Cho $u_n = \frac{2 + 2^2 + \dots + 2^n}{2^n}$. Giới hạn của dãy số $(u_n)$ bằng:

• A. 1.
• B. 2.
• C. -1.
• D. 0.

5.20. Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ với $u_n = \frac{2}{3^n}$. Tổng của cấp số nhân này bằng:

• A. 3.
• B. 2.
• C. 1.
• D. 6.

5.21. Cho hàm số $f(x) = \sqrt{x + 1} – \sqrt{x + 2}$. Mệnh đề đúng là:

• A. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.
• B. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.
• C. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -1$.
• D. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\frac{1}{2}$.

5.22. Cho hàm số $f(x) = \frac{x – x^2}{|x|}$. Khi đó $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ bằng:

• A. 0.
• B. 1.
• C. $+\infty$.
• D. -1.

5.23. Cho hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{|x + 1|}$. Hàm số $f(x)$ liên tục trên:

• A. $(-\infty; +\infty)$.
• B. $(-\infty; -1]$.
• C. $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
• D. $[-1; +\infty)$.

5.24. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + x – 2}{x – 1} & \text{nếu } x \neq 1 \\ a & \text{nếu } x = 1 \end{cases}$. Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$ khi:

• A. $a = 0$.
• B. $a = 3$.
• C. $a = -1$.
• D. $a = 1$.

---

B – TỰ LUẬN

5.25. Cho dãy số $(u_n)$ có tính chất $|u_n – 1| < \frac{2}{n}$. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?

5.26. Tìm giới hạn của các dãy số sau:

• a) $u_n = \frac{n^2}{3n^2 + 7n – 2}$;
• b) $v_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{3^k + 5^k}{6^k}$;
• c) $w_n = \frac{\sin n}{4n}$.

5.27. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

• a) $1,(01)$;
• b) $5,(132)$.

5.28. Tính các giới hạn sau:

• a) $\lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x + 2} – 3}{x – 7}$;
• b) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 – 1}{x^2 – 1}$;
• c) $\lim_{x \to 1} \frac{2 – x}{(1 – x)^2}$;
• d) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x + 2}{\sqrt{4x^2 + 1}}$.

5.29. Tính các giới hạn một bên:

• a) $\lim_{x \to 3^+} \frac{x^2 – 9}{|x – 3|}$;
• b) $\lim_{x \to 1^-} \frac{x}{\sqrt{1 – x}}$.

5.30. Chứng minh rằng giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ không tồn tại.

5.31. Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho:

• a) $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & \text{nếu } x \neq 0 \\ 1 & \text{nếu } x = 0 \end{cases}$ tại điểm $x = 0$;
• b) $g(x) = \begin{cases} 1 + x & \text{nếu } x < 1 \\ 2 – x & \text{nếu } x \ge 1 \end{cases}$ tại điểm $x = 1$.

5.32. Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách $r$ tính từ tâm Trái Đất là:

$$F(r) = \begin{cases} \frac{GMr}{R^3} & \text{nếu } r < R \\ \frac{GM}{r^2} & \text{nếu } r \ge R \end{cases}$$

Trong đó $M$ và $R$ lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, $G$ là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số $F(r)$.

5.33. Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng:

• a) $f(x) = \frac{\cos x}{x^2 + 5x + 6}$;
• b) $g(x) = \frac{x – 2}{\sin x}$.

5.34. Tìm các giá trị của $a$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{nếu } x \le a \\ x^2 & \text{nếu } x > a \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV

A – TRẮC NGHIỆM

4.35. Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. Mặt phẳng $(Q)$ chứa đường thẳng $a$ và cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến là đường thẳng $b$. Vị trí tương đối của hai đường thẳng $a$ và $b$ là

A. chéo nhau.

B. cắt nhau.

C. song song.

D. trùng nhau.

4.36. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SD$. Đường thẳng $SB$ song song với mặt phẳng

A. $(CDM)$.

B. $(ACM)$.

C. $(ADM)$.

D. $(ACD)$.

4.37. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Mặt phẳng $(AB’D’)$ song song với mặt phẳng

A. $(ABCD)$.

B. $(BCC’B’)$.

C. $(BDA’)$.

D. $(BDC’)$.

4.38. Cho ba mặt phẳng $(P), (Q), (R)$ đôi một song song với nhau. Đường thẳng $a$ cắt các mặt phẳng $(P), (Q), (R)$ lần lượt tại $A, B, C$ sao cho $\frac{AB}{BC} = \frac{2}{3}$ và đường thẳng $b$ cắt các mặt phẳng $(P), (Q), (R)$ lần lượt tại $A’, B’, C’$. Tỉ số $\frac{A’B’}{B’C’}$ bằng

A. $\frac{2}{3}$.

B. $\frac{1}{2}$.

C. $\frac{3}{2}$.

D. $\frac{2}{5}$.

4.39. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB, SD$; $K$ là giao điểm của mặt phẳng $(AMN)$ và đường thẳng $SC$. Tỉ số $\frac{SK}{SC}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$.

B. $\frac{1}{3}$.

C. $\frac{1}{4}$.

D. $\frac{2}{3}$.

4.40. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Gọi $M, M’$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, B’C’$. Hình chiếu của $\Delta B’DM$ qua phép chiếu song song trên $(A’B’C’D’)$ theo phương chiếu $AA’$ là

A. $\Delta B’A’M’$.

B. $\Delta C’D’M’$.

C. $\Delta DMM’$.

D. $\Delta B’D’M’$.

---

B – TỰ LUẬN

4.41. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, $AB // CD$ và $AB < CD$. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng sau:

a) $(SAD)$ và $(SBC)$;

b) $(SAB)$ và $(SCD)$;

c) $(SAC)$ và $(SBD)$.

4.42. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC$ và $AA’$.

a) Xác định giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $B’C$.

b) Gọi $K$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $B’C$. Tính tỉ số $\frac{KB’}{KC}$.

4.43. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Trên cạnh $SC$ và cạnh $AB$ lần lượt lấy điểm $M$ và $N$ sao cho $CM = 2SM$ và $BN = 2AN$.

a) Xác định giao điểm $K$ của mặt phẳng $(ABM)$ với đường thẳng $SD$. Tính tỉ số $\frac{SK}{SD}$.

b) Chứng minh rằng $MN // (SAD)$.

4.44. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G, K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAD, SCD$.

a) Chứng minh rằng $GK // (ABCD)$.

b) Mặt phẳng chứa đường thẳng $GK$ và song song với mặt phẳng $(ABCD)$ cắt các cạnh $SA, SB, SC, SD$ lần lượt tại $M, N, E, F$. Chứng minh rằng tứ giác $MNEF$ là hình bình hành.

4.45. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AD, A’B’$. Chứng minh rằng:

a) $BD // B’D’, (A’BD) // (CB’D’)$ và $MN // (BDD’B’)$;

b) Đường thẳng $AC’$ đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $A’BD$.

4.46. Cho tứ diện $ABCD$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $BM = 3AM$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ song song với hai đường thẳng $AD$ và $BC$.

a) Xác định giao điểm $K$ của mặt phẳng $(P)$ với đường thẳng $CD$.

b) Tính tỉ số $\frac{KC}{CD}$.