Danh mục: TOÁN 11

7.22. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là một hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAD$ là một tam giác đều và $(SAD) \perp (ABCD)$.

a) Tính chiều cao của hình chóp.

b) Tính khoảng cách giữa $BC$ và $(SAD)$.

c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa $AB$ và $SD$.

7.23. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có $AA’ = a, AB = b, BC = c$.

a) Tính khoảng cách giữa $CC’$ và $(BB’D’D)$.

b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa $AC$ và $B’D’$.

7.24. Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh đều bằng $a$. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $AB, CD$. Chứng minh rằng:

a) $MN$ là đường vuông góc chung của $AB$ và $CD$.

b) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện $ABCD$ đều vuông góc với nhau.

7.25. Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ có cạnh $a$.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(D’AC)$ và $(BC’A’)$ song song với nhau và $DB’$ vuông góc với hai mặt phẳng đó.

b) Xác định các giao điểm $E, F$ của $DB’$ với $(D’AC), (BC’A’)$. Tính $d((D’AC), (BC’A’))$.

7.26. Giá đỡ ba chân ở Hình 7.90 đang được mở sao cho ba gốc chân cách đều nhau một khoảng cách bằng $110\text{ cm}$. Tính chiều cao của giá đỡ, biết các chân của giá đỡ dài $129\text{ cm}$.

7.27. Một bể nước có đáy thuộc mặt phẳng nằm ngang. Trong trường hợp này, độ sâu của bể là khoảng cách giữa mặt nước và đáy bể. Giải thích vì sao để đo độ sâu của bể, ta có thể thả quả dọi chạm đáy bể và đo chiều dài của đoạn dây dọi nằm trong bể nước.

7.16. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$.

a) Chứng minh rằng $(SAB) \perp (ABC)$ và $(SAH) \perp (SBC)$.

b) Giả sử tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $\widehat{ABC} = 30^\circ, AC = a, SA = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính số đo của góc nhị diện $[S, BC, A]$.

7.17. Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$.

a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.

b) Chứng minh rằng $(ACC’A’) \perp (BDD’B’)$.

c) Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Chứng minh rằng $\widehat{COC’}$ là một góc phẳng của góc nhị diện $[C, BD, C’]$. Tính (gần đúng) số đo của các góc nhị diện $[C, BD, C’]$, $[A, BD, C’]$.

7.18. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$.

a) Chứng minh rằng $(BDD’B’) \perp (ABCD)$.

b) Xác định hình chiếu của $AC’$ trên mặt phẳng $(ABCD)$.

c) Cho $AB = a, BC = b, CC’ = c$. Tính $AC’$.

7.19. Cho hình chóp đều $S.ABC$, đáy có cạnh bằng $a$, cạnh bên bằng $b$.

a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.

b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.

7.20. Hai mái nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật. Giả sử $AB = 4,8\text{ m}$; $OA = 2,8\text{ m}$; $OB = 4\text{ m}$.

a) Tính (gần đúng) số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà.

b) Chứng minh rằng mặt phẳng $(OAB)$ vuông góc với mặt đất phẳng. Lưu ý: Đường giao giữa hai mái (đường nóc) song song với mặt đất.

c) Điểm $A$ ở độ cao (so với mặt đất) hơn điểm $B$ là $0,5\text{ m}$. Tính (gần đúng) góc giữa mái nhà (chứa $OB$) so với mặt đất.

7.21. Độ dốc của mái nhà, mặt sân, con đường thẳng là tang của góc tạo bởi mái nhà mặt sân, con đường thẳng đó với mặt phẳng nằm ngang. Độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá $\frac{1}{12}$. Hỏi theo đó, góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá bao nhiêu độ? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

7.10. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

a) Xác định hình chiếu của điểm $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$.

b) Xác định hình chiếu của tam giác $SBC$ trên mặt phẳng $(ABC)$.

c) Xác định hình chiếu của tam giác $SBC$ trên mặt phẳng $(SAB)$.

7.11. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$.

a) Tính góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

b) Tính góc giữa $BD$ và mặt phẳng $(SAC)$.

c) Tìm hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $(SAC)$.

7.12. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $SA = AB = BC = a$.

a) Xác định hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $(SBC)$.

b) Tính góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$.

7.13. Cho điểm $S$ nằm ngoài mặt phẳng $(P)$, có hình chiếu $H$ trên $(P)$. Với mỗi điểm $M$ bất kì (không trùng $H$) trên mặt phẳng $(P)$, ta gọi đoạn thẳng $SM$ là đường xiên, đoạn thẳng $HM$ là hình chiếu trên $(P)$ của đường xiên đó. Chứng minh rằng:

a) Hai đường xiên $SM$ và $SM’$ bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu $HM$, $HM’$ tương ứng của chúng bằng nhau;

b) Đường xiên $SM$ lớn hơn đường xiên $SM’$ nếu hình chiếu $HM$ lớn hơn hình chiếu $HM’$.

7.14. Trong một khoảng thời gian đầu kể từ khi cất cánh, máy bay bay theo một đường thẳng. Góc cất cánh của nó là góc giữa đường thẳng đó và mặt phẳng nằm ngang nơi cất cánh. Hai máy bay cất cánh và bay thẳng với cùng độ lớn vận tốc trong 5 phút đầu, với các góc cất cánh lần lượt là $10^\circ, 15^\circ$. Hỏi sau 1 phút kể từ khi cất cánh, máy bay nào ở độ cao so với mặt đất (phẳng, nằm ngang) lớn hơn?

Chú ý. Độ cao của máy bay so với mặt đất là khoảng cách từ máy bay (coi là một điểm) đến hình chiếu của nó trên mặt đất.

7.15. Hãy nêu cách đo góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí và một thời điểm.

7.5. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác cân tại $A$ và $SA \perp (ABC)$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng:

a) $BC \perp (SAM)$;

b) Tam giác $SBC$ cân tại $S$.

7.6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA \perp (ABCD)$. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp $S.ABCD$ là các tam giác vuông.

7.7. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật và $SA \perp (ABCD)$. Gọi $M, N$ tương ứng là hình chiếu của $A$ trên $SB, SD$. Chứng minh rằng:

$AM \perp (SBC), AN \perp (SCD), SC \perp (AMN)$.

7.8. Bạn Vinh thả quả dọi chìm vào thùng nước. Hỏi khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng hay không?

7.9. Một cột bóng rổ được dựng trên một sân phẳng. Bạn Hùng đo khoảng cách từ một điểm trên sân, cách chân cột 1 m đến một điểm trên cột, cách chân cột 1 m được kết quả là 1,5 m (H.7.27). Nếu phép đo của Hùng là chính xác thì cột có vuông góc với sân hay không? Có thể kết luận rằng cột không có phương thẳng đứng hay không?

7.1. Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có các đáy là các tam giác đều. Tính góc $(AB, B’C’)$.

7.2. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng tứ diện $ACB’D’$ có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.

7.3. Cho tứ diện $ABCD$ có $\widehat{CBD} = 90^\circ$.

a) Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của $AB, AD$. Chứng minh rằng $MN$ vuông góc với $BC$.

b) Gọi $G, K$ tương ứng là trọng tâm của các tam giác $ABC, ACD$. Chứng minh rằng $GK$ vuông góc với $BC$.

7.4. Đối với nhà gỗ truyền thống, trong các cấu kiện: hoành, quá giang, xà cái, rui, cột tương ứng được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 như trong Hình 7.8, những cặp cấu kiện nào vuông góc với nhau?

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VI

A – TRẮC NGHIỆM

6.27. Cho hai số thực dương $x, y$ và hai số thực $\alpha, \beta$ tùy ý. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $x^{\alpha} \cdot x^{\beta} = x^{\alpha+\beta}$

B. $x^{\alpha} \cdot y^{\beta} = (xy)^{\alpha+\beta}$

C. $(x^{\alpha})^{\beta} = x^{\alpha \cdot \beta}$

D. $(xy)^{\alpha} = x^{\alpha} \cdot y^{\alpha}$

6.28. Rút gọn biểu thức $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} : x^{\frac{5}{8}}$ ($x > 0$) ta được:

A. $\sqrt[4]{x}$

B. $\sqrt{x}$

C. $\sqrt[8]{x}$

D. $\sqrt[6]{x}$

6.29. Cho hai số thực dương $a, b$ với $a \neq 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\log_a(a^3b^2) = 3 + \log_a b$

B. $\log_a(a^3b^2) = 3 + 2\log_a b$

C. $\log_a(a^3b^2) = \frac{3}{2} + \log_a b$

D. $\log_a(a^3b^2) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\log_a b$

6.30. Cho bốn số thực dương $a, b, x, y$ với $a, b \neq 1$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$

B. $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x – \log_a y$

C. $\log_a \frac{1}{x} = \frac{1}{\log_a x}$

D. $\log_a b \cdot \log_b x = \log_a x$

6.31. Đặt $\log_2 5 = a, \log_3 5 = b$. Khi đó, $\log_6 5$ tính theo $a$ và $b$ bằng:

A. $\frac{ab}{a+b}$

B. $\frac{1}{a+b}$

C. $a^2 + b^2$

D. $a + b$

6.32. Cho hàm số $y = 2^x$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

B. Tập giá trị của hàm số là $(0; +\infty)$.

C. Đồ thị của hàm số cắt trục $Ox$ tại đúng một điểm.

D. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

6.33. Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?

A. $y = \log_{0,5} x$ B. $y = e^{-x}$ C. $y = \left( \frac{1}{3} \right)^x$ D. $y = \ln x$

6.34. Cho đồ thị ba hàm số $y = \log_a x, y = \log_b x$ và $y = \log_c x$ như hình bên dưới. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $a > b > c$

B. $b > a > c$

C. $a > c > b$

D. $b > c > a$

---

B – TỰ LUẬN

6.35. Cho $0 < a \neq 1$. Tính giá trị của biểu thức:

$$B = \log_a \left( \frac{a^2 \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[4]{a}} \right) + a^{2\log_a \frac{\sqrt{105}}{30}}$$

6.36. Giải các phương trình sau:

a) $3^{1-2x} = 4^x$

b) $\log_3(x+1) + \log_3(x+4) = 2$

6.37. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{4^x – 2^{x+1}}$

b) $y = \ln(1 – \ln x)$

6.38. Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hoá và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là $5\%$ một năm thì sức mua của 1 triệu đồng sau một năm chỉ còn là 950 nghìn đồng (vì đã giảm mất $5\%$ của 1 triệu đồng, tức là 50 000 đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là $r\%$ một năm thì tổng số tiền $P$ ban đầu, sau $n$ năm số tiền đó chỉ còn giá trị là:

$$A = P \cdot \left( 1 – \frac{r}{100} \right)^n$$

a) Nếu tỉ lệ lạm phát là $8\%$ một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm còn lại bao nhiêu?

b) Nếu sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm chỉ còn là 90 triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó là bao nhiêu?

6.39. Tăng trưởng vi khuẩn:

Số lượng vi khuẩn $N(t)$ sau $t$ giờ được tính theo công thức $N(t) = N_0 e^{rt}$. Giả sử ban đầu có 500 con và sau 1 giờ tăng lên 800 con.

a) Sau 5 giờ số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?

b) Sau bao lâu số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi so với ban đầu?

6.40. Định luật Benford:

Xác suất để chữ số $d$ là chữ số đầu tiên của một bộ số được tính bởi: $P = \log \frac{d+1}{d}$.

a) Viết công thức tìm chữ số $d$ nếu cho trước xác suất $P$.

b) Tìm chữ số có xác suất bằng $9,7\%$ được chọn.

c) Tính xác suất để chữ số đầu tiên là 1.

6.20. Giải các phương trình sau:

a) $3^{x-1} = 27$

b) $100^{2x^2 – 3} = 0,1^{2x^2 – 18}$

c) $\sqrt{3} e^{3x} = 1$

d) $5^x = 3^{2x-1}$

6.21. Giải các phương trình sau:

a) $\log(x + 1) = 2$

b) $2\log_4 x + \log_2 (x – 3) = 2$

c) $\ln x + \ln(x – 1) = \ln 4x$

d) $\log_3 (x^2 – 3x + 2) = \log_3 (2x – 4)$

6.22. Giải các bất phương trình sau:

a) $0,1^{2-x} > 0,1^{4+2x}$

b) $2 \cdot 5^{2x+1} \leq 3$

c) $\log_3 (x + 7) \geq -1$

d) $\log_{0,5} (x + 7) \geq \log_{0,5} (2x – 1)$

---

5. Bài toán ứng dụng thực tế

6.23. Lãi suất ngân hàng: Bác Minh gửi tiết kiệm 500 triệu đồng với lãi suất 7,5%/năm theo thể thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Công thức tổng số tiền sau $n$ năm là $A = 500 \cdot (1 + 0,075)^n$. Tính thời gian tối thiểu để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng.

6.24. Sự tăng trưởng vi khuẩn: Số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con, tỉ lệ tăng trưởng 40% mỗi giờ. Số lượng sau $t$ giờ là $N(t) = 500 e^{0,4t}$. Sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn vượt mức 80.000 con?

6.25. Sự giảm nhiệt độ: Nhiệt độ $T$ (°C) của một vật giảm theo thời gian $t$ (phút) bởi công thức $T = 25 + 70 e^{-0,5t}$.

a) Tìm nhiệt độ ban đầu của vật.

b) Sau bao lâu nhiệt độ của vật còn lại 30 °C?

6.26. Hóa học: Tính nồng độ ion hydrogen (mol/lít) của một dung dịch có độ pH là 8.

6.15 & 6.16. Vẽ đồ thị:

a) $y = 3^x$ và $y = \left( \frac{1}{3} \right)^x$

b) $y = \log x$ và $y = \log_{\frac{1}{3}} x$

6.17. Tìm tập xác định:

a) $y = \log|x + 3|$

b) $y = \ln(4 – x^2)$

6.18. Phân rã phóng xạ: Cho hàm khối lượng còn lại $m(t) = 13e^{-0,015t}$ (kg).

a) Tìm khối lượng tại thời điểm $t = 0$.

b) Sau 45 ngày khối lượng còn lại bao nhiêu?

6.19. Khả năng ghi nhớ: Khả năng nhớ trung bình sau $t$ tháng được tính theo $M(t) = 75 – 20\ln(t + 1)$ (đơn vị: %). Tính khả năng nhớ sau 6 tháng.

6.9. Tính giá trị biểu thức:

a) $\log_2 2^{-13}$

b) $\ln e^{\sqrt{2}}$

c) $\log_8 16 – \log_8 2$

d) $\log_2 6 \cdot \log_6 8$

6.10. Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

a) $A = \ln \left( \frac{x}{x-1} \right) + \ln \left( \frac{x+1}{x} \right) – \ln(x^2 – 1)$

b) $B = 21 \log_3 \sqrt[7]{x} + \log_3(9x^2) – \log_3 9$

6.11. Rút gọn các biểu thức:

a) $A = \log_{\frac{1}{3}} 5 + 2\log_9 25 – \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{5}$

b) $B = \log_a M^2 + \log_{a^2} M^4$

6.12. Tính giá trị của các biểu thức:

a) $A = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 8$

b) $B = \log_2 2 \cdot \log_2 4 \cdots \log_2 2^n$

6.13. Bài toán áp suất không khí:

Công thức tính độ cao $a$ (mét) so với mực nước biển dựa trên áp suất $p$ (pascal) là: $a = 15\,500(5 – \log p)$. Tính áp suất không khí tại đỉnh Everest có độ cao $8\,850$ m.

6.14. Mức cường độ âm:

Mức cường độ âm $L$ (dB) được tính bởi công thức $L(I) = 10 \log \frac{I}{I_0}$ với $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$. Xác định mức cường độ âm của:

a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ $I = 10^{-7} \text{ W/m}^2$.

b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ $I = 10^{-3} \text{ W/m}^2$.

6.1. Tính:

a) $\left( \frac{1}{5} \right)^{-2}$

b) $4^{\frac{3}{2}}$

c) $\left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{2}{3}}$

d) $\left( \frac{1}{16} \right)^{-0,75}$

6.2. Thực hiện phép tính:

a) $27^{\frac{2}{3}} + 81^{-0,75} – 25^{0,5}$

b) $4^{2 – 3\sqrt{7}} \cdot 8^{2\sqrt{7}}$

6.3. Rút gọn các biểu thức sau ($x, y \neq 0$):

a) $A = \frac{x^5 y^{-2}}{x^3 y}$

b) $B = \frac{x^2 y^{-3}}{(x^{-1} y^4)^{-3}}$

6.4. Cho $x, y$ là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y} + y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}$

b) $B = \left( \frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}} \right)^{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

6.5. Chứng minh rằng:

$$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} – \sqrt{4 – 2\sqrt{3}} = 2$$

6.6. Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

a) $5^{6\sqrt{3}}$ và $5^{3\sqrt{6}}$

b) $\left( \frac{1}{2} \right)^{-\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

6.7. Bài toán lãi suất:

Nếu một khoản tiền gốc $P$ được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm $r$ ($r$ được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi $n$ lần trong một năm, thì tổng số tiền $A$ nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau $N$ kì gửi cho bởi công thức:

$$A = P\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^N$$

• Bài toán: Bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5% một năm. Hỏi số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?

6.8. Bài toán dân số:

Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số $A$ (triệu người) của quốc gia đó sau $t$ năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức $A = 19 \cdot 2^{\frac{t}{30}}$.

• Bài toán: Với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).