Danh mục: TOÁN 11

BÀI TẬP

5.1. Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + n + 1}{2n^2 + 1}$;

b) $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n^2 + 2n} – n)$.

5.2. Cho hai dãy số không âm $(u_n)$ và $(v_n)$ với $\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$ và $\lim_{n \to +\infty} v_n = 3$. Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n^2}{v_n – u_n}$;

b) $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{u_n + 2v_n}$.

5.3. Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:

a) $u_n = \frac{n^2 + 1}{2n – 1}$;

b) $v_n = \sqrt{2n^2 + 1} – n$.

5.4. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) $1,(12) = 1,121212…$;

b) $3,(102) = 3,102102102…$

5.5. Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc $150$ mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn $5\%$. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

5.6. Cho tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$, có $AB = h$ và góc $B$ bằng $\alpha$ (H.5.3). Từ $A$ kẻ $AA_1 \perp BC$, từ $A_1$ kẻ $A_1A_2 \perp AC$, sau đó lại kẻ $A_2A_3 \perp BC$. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn $AA_1A_2A_3…$ Tính độ dài đường gấp khúc này theo $h$ và $\alpha$.

5.7. Cho hai hàm số $f(x) = \frac{x^2 – 1}{x – 1}$ và $g(x) = x + 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) $f(x) = g(x)$;

b) $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} g(x)$.

5.8. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to 0} \frac{(x + 2)^2 – 4}{x}$;

b) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 9} – 3}{x^2}$.

5.9. Cho hàm số $H(t) = \begin{cases} 0 & \text{nếu } t < 0 \\ 1 & \text{nếu } t \geq 0 \end{cases}$ (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thời điểm $t = 0$).

Tính $\lim_{t \to 0^+} H(t)$ và $\lim_{t \to 0^-} H(t)$.

5.10. Tính các giới hạn một bên:

a) $\lim_{x \to 1^+} \frac{x – 2}{x – 1}$;

b) $\lim_{x \to 4^-} \frac{x^2 – x + 1}{4 – x}$.

5.11. Cho hàm số $g(x) = \frac{x^2 – 5x + 6}{|x – 2|}$.

Tìm $\lim_{x \to 2^+} g(x)$ và $\lim_{x \to 2^-} g(x)$.

5.12. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{1 – 2x}{\sqrt{x^2 + 1}}$;

b) $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x + 2} – x)$.

5.13. Cho hàm số $f(x) = \frac{2}{(x – 1)(x – 2)}$.

Tìm $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ và $\lim_{x \to 2^-} f(x)$.

BÀI TẬP

Bài 5.14. Cho $f(x)$ và $g(x)$ là các hàm số liên tục tại $x = 1$. Biết $f(1) = 2$ và $\lim_{x \to 1} [2f(x) – g(x)] = 3$. Tính $g(1)$.

---

Bài 5.15. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

• a) $f(x) = \frac{x}{x^2 + 5x + 6}$
• b) $f(x) = \begin{cases} 1 + x^2 & \text{nếu } x < 1 \\ 4 – x & \text{nếu } x \ge 1 \end{cases}$

---

Bài 5.16. Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số

$$f(x) = \begin{cases} \sin x & \text{nếu } x \ge 0 \\ -x + m & \text{nếu } x < 0 \end{cases}$$

liên tục trên $\mathbb{R}$.

---

Bài 5.17. Một bảng giá cước taxi được cho như sau:

Giá mở cửa (0,5 km đầu)	Giá cước các km tiếp theo đến 30 km	Giá cước từ km thứ 31
10 000 đồng	13 500 đồng	11 000 đồng

• a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.
• b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V

A – TRẮC NGHIỆM

5.18. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \sqrt{n^2 + 1} – \sqrt{n}$. Mệnh đề đúng là:

• A. $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
• B. $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$.
• C. $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
• D. $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

5.19. Cho $u_n = \frac{2 + 2^2 + \dots + 2^n}{2^n}$. Giới hạn của dãy số $(u_n)$ bằng:

• A. 1.
• B. 2.
• C. -1.
• D. 0.

5.20. Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ với $u_n = \frac{2}{3^n}$. Tổng của cấp số nhân này bằng:

• A. 3.
• B. 2.
• C. 1.
• D. 6.

5.21. Cho hàm số $f(x) = \sqrt{x + 1} – \sqrt{x + 2}$. Mệnh đề đúng là:

• A. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.
• B. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.
• C. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -1$.
• D. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\frac{1}{2}$.

5.22. Cho hàm số $f(x) = \frac{x – x^2}{|x|}$. Khi đó $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ bằng:

• A. 0.
• B. 1.
• C. $+\infty$.
• D. -1.

5.23. Cho hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{|x + 1|}$. Hàm số $f(x)$ liên tục trên:

• A. $(-\infty; +\infty)$.
• B. $(-\infty; -1]$.
• C. $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
• D. $[-1; +\infty)$.

5.24. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + x – 2}{x – 1} & \text{nếu } x \neq 1 \\ a & \text{nếu } x = 1 \end{cases}$. Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$ khi:

• A. $a = 0$.
• B. $a = 3$.
• C. $a = -1$.
• D. $a = 1$.

---

B – TỰ LUẬN

5.25. Cho dãy số $(u_n)$ có tính chất $|u_n – 1| < \frac{2}{n}$. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?

5.26. Tìm giới hạn của các dãy số sau:

• a) $u_n = \frac{n^2}{3n^2 + 7n – 2}$;
• b) $v_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{3^k + 5^k}{6^k}$;
• c) $w_n = \frac{\sin n}{4n}$.

5.27. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

• a) $1,(01)$;
• b) $5,(132)$.

5.28. Tính các giới hạn sau:

• a) $\lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x + 2} – 3}{x – 7}$;
• b) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 – 1}{x^2 – 1}$;
• c) $\lim_{x \to 1} \frac{2 – x}{(1 – x)^2}$;
• d) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x + 2}{\sqrt{4x^2 + 1}}$.

5.29. Tính các giới hạn một bên:

• a) $\lim_{x \to 3^+} \frac{x^2 – 9}{|x – 3|}$;
• b) $\lim_{x \to 1^-} \frac{x}{\sqrt{1 – x}}$.

5.30. Chứng minh rằng giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ không tồn tại.

5.31. Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho:

• a) $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & \text{nếu } x \neq 0 \\ 1 & \text{nếu } x = 0 \end{cases}$ tại điểm $x = 0$;
• b) $g(x) = \begin{cases} 1 + x & \text{nếu } x < 1 \\ 2 – x & \text{nếu } x \ge 1 \end{cases}$ tại điểm $x = 1$.

5.32. Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách $r$ tính từ tâm Trái Đất là:

$$F(r) = \begin{cases} \frac{GMr}{R^3} & \text{nếu } r < R \\ \frac{GM}{r^2} & \text{nếu } r \ge R \end{cases}$$

Trong đó $M$ và $R$ lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, $G$ là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số $F(r)$.

5.33. Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng:

• a) $f(x) = \frac{\cos x}{x^2 + 5x + 6}$;
• b) $g(x) = \frac{x – 2}{\sin x}$.

5.34. Tìm các giá trị của $a$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{nếu } x \le a \\ x^2 & \text{nếu } x > a \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV

A – TRẮC NGHIỆM

4.35. Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. Mặt phẳng $(Q)$ chứa đường thẳng $a$ và cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến là đường thẳng $b$. Vị trí tương đối của hai đường thẳng $a$ và $b$ là

A. chéo nhau.

B. cắt nhau.

C. song song.

D. trùng nhau.

4.36. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SD$. Đường thẳng $SB$ song song với mặt phẳng

A. $(CDM)$.

B. $(ACM)$.

C. $(ADM)$.

D. $(ACD)$.

4.37. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Mặt phẳng $(AB’D’)$ song song với mặt phẳng

A. $(ABCD)$.

B. $(BCC’B’)$.

C. $(BDA’)$.

D. $(BDC’)$.

4.38. Cho ba mặt phẳng $(P), (Q), (R)$ đôi một song song với nhau. Đường thẳng $a$ cắt các mặt phẳng $(P), (Q), (R)$ lần lượt tại $A, B, C$ sao cho $\frac{AB}{BC} = \frac{2}{3}$ và đường thẳng $b$ cắt các mặt phẳng $(P), (Q), (R)$ lần lượt tại $A’, B’, C’$. Tỉ số $\frac{A’B’}{B’C’}$ bằng

A. $\frac{2}{3}$.

B. $\frac{1}{2}$.

C. $\frac{3}{2}$.

D. $\frac{2}{5}$.

4.39. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB, SD$; $K$ là giao điểm của mặt phẳng $(AMN)$ và đường thẳng $SC$. Tỉ số $\frac{SK}{SC}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$.

B. $\frac{1}{3}$.

C. $\frac{1}{4}$.

D. $\frac{2}{3}$.

4.40. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Gọi $M, M’$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, B’C’$. Hình chiếu của $\Delta B’DM$ qua phép chiếu song song trên $(A’B’C’D’)$ theo phương chiếu $AA’$ là

A. $\Delta B’A’M’$.

B. $\Delta C’D’M’$.

C. $\Delta DMM’$.

D. $\Delta B’D’M’$.

---

B – TỰ LUẬN

4.41. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, $AB // CD$ và $AB < CD$. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng sau:

a) $(SAD)$ và $(SBC)$;

b) $(SAB)$ và $(SCD)$;

c) $(SAC)$ và $(SBD)$.

4.42. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC$ và $AA’$.

a) Xác định giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $B’C$.

b) Gọi $K$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $B’C$. Tính tỉ số $\frac{KB’}{KC}$.

4.43. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Trên cạnh $SC$ và cạnh $AB$ lần lượt lấy điểm $M$ và $N$ sao cho $CM = 2SM$ và $BN = 2AN$.

a) Xác định giao điểm $K$ của mặt phẳng $(ABM)$ với đường thẳng $SD$. Tính tỉ số $\frac{SK}{SD}$.

b) Chứng minh rằng $MN // (SAD)$.

4.44. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G, K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAD, SCD$.

a) Chứng minh rằng $GK // (ABCD)$.

b) Mặt phẳng chứa đường thẳng $GK$ và song song với mặt phẳng $(ABCD)$ cắt các cạnh $SA, SB, SC, SD$ lần lượt tại $M, N, E, F$. Chứng minh rằng tứ giác $MNEF$ là hình bình hành.

4.45. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AD, A’B’$. Chứng minh rằng:

a) $BD // B’D’, (A’BD) // (CB’D’)$ và $MN // (BDD’B’)$;

b) Đường thẳng $AC’$ đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $A’BD$.

4.46. Cho tứ diện $ABCD$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $BM = 3AM$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ song song với hai đường thẳng $AD$ và $BC$.

a) Xác định giao điểm $K$ của mặt phẳng $(P)$ với đường thẳng $CD$.

b) Tính tỉ số $\frac{KC}{CD}$.

4.29. Những mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là đúng?

• a) Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
• b) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng cắt nhau.
• c) Phép chiếu song song biến tam giác đều thành tam giác cân.
• d) Phép chiếu song song biến hình vuông thành hình bình hành.

4.30. Nếu tam giác $A’B’C’$ là hình chiếu của tam giác $ABC$ qua một phép chiếu song song thì tam giác $ABC$ có phải là hình chiếu của tam giác $A’B’C’$ qua một phép chiếu song song hay không? Giải thích vì sao.

4.31. Phép chiếu song song biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A’B’C’$. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến trọng tâm của tam giác $ABC$ thành trọng tâm của tam giác $A’B’C’$.

4.32. Hình 4.65 có thể là hình biểu diễn của một hình lục giác đều hay không? Vì sao?

4.33. Vẽ hình biểu diễn của hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, $AB$ song song với $CD$ và $AB = 2\text{ cm}$, $CD = 6\text{ cm}$.

4.34. Trong hình bên dưới, $AB$ và $CD$ là bóng của hai thanh chắn của một chiếc thang dưới ánh mặt trời. Hãy giải thích tại sao $AB$ song song với $CD$.

4.21. Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt $(P), (Q), (R)$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

• a) Nếu $(P)$ chứa một đường thẳng song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$.
• b) Nếu $(P)$ chứa hai đường thẳng song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$.
• c) Nếu $(P)$ và $(Q)$ song song với $(R)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$.
• d) Nếu $(P)$ và $(Q)$ cắt $(R)$ thì $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau.

4.22. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AA’, BB’, CC’$. Chứng minh rằng mặt phẳng $(MNP)$ song song với mặt phẳng $(ABC)$.

4.23. Cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB$ và $CD$. Qua các điểm $A, D$ lần lượt vẽ các đường thẳng $m, n$ song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$. Chứng minh rằng mp$(B, m)$ và mp$(C, n)$ song song với nhau.

4.24. Cho hình tứ diện $SABC$. Trên cạnh $SA$ lấy các điểm $A_1, A_2$ sao cho $AA_1 = A_1A_2 = A_2S$. Gọi $(P)$ và $(Q)$ là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng $(ABC)$ và lần lượt đi qua $A_1, A_2$. Mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $SB, SC$ lần lượt tại $B_1, C_1$. Mặt phẳng $(Q)$ cắt các cạnh $SB, SC$ lần lượt tại $B_2, C_2$. Chứng minh $BB_1 = B_1B_2 = B_2S$ và $CC_1 = C_1C_2 = C_2S$.

4.25. Cho hình lăng trụ tứ giác $ABCD.A’B’C’D’$. Một mặt phẳng song song với mặt phẳng $(A’B’C’D’)$ cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại $A”, B”, C”, D”$. Hỏi hình tạo bởi các điểm $A, B, C, D, A”, B”, C”, D”$ là hình gì?

4.26. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$. Gọi $G$ và $G’$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$.

• a) Chứng minh rằng tứ giác $AGG’A’$ là hình bình hành.
• b) Chứng minh rằng $AGC.A’G’C’$ là hình lăng trụ.

4.27. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Một mặt phẳng song song với mặt bên $(ABB’A’)$ của hình hộp và cắt các cạnh $AD, BC, A’D’, B’C’$ lần lượt tại $M, N, M’, N’$ (H.4.54). Chứng minh rằng $ABNM.A’B’N’M’$ là hình hộp.

4.28. Cầu thang xương cá là dạng cầu thang có hình dáng tương tự như những đốt xương cá, thường có những bậc cầu thang với khoảng mở lớn, tạo được sự nhẹ nhàng và thoáng đãng cho không gian sống. Trong Hình 4.55, phần mép của mỗi bậc thang nằm trên tường song song với nhau. Hãy giải thích tại sao.

4.16. Trong không gian, cho hai đường thẳng phân biệt $a, b$ và mặt phẳng $(P)$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

• a) Nếu $a$ và $(P)$ có điểm chung thì $a$ không song song với $(P)$.
• b) Nếu $a$ và $(P)$ có điểm chung thì $a$ và $(P)$ cắt nhau.
• c) Nếu $a$ song song với $b$ và $b$ nằm trong $(P)$ thì $a$ song song với $(P)$.
• d) Nếu $a$ và $b$ song song với $(P)$ thì $a$ song song với $b$.

4.17. Cho hai tam giác $ABC$ và $ABD$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC, AD$.

• a) Đường thẳng $AM$ có song song với mặt phẳng $(BCD)$ hay không? Hãy giải thích tại sao.
• b) Đường thẳng $MN$ có song song với mặt phẳng $(BCD)$ hay không? Hãy giải thích tại sao.

4.18. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $BC, CD$. Chứng minh rằng đường thẳng $BD$ song song với mặt phẳng $(AMN)$.

4.19. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang ($AB \parallel CD$). Gọi $E$ là một điểm nằm giữa $S$ và $A$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $E$ và song song với hai đường thẳng $AB, AD$. Xác định giao tuyến của $(P)$ và các mặt bên của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?

4.20. Bạn Nam quan sát thấy dù cửa ra vào được mở ở vị trí nào thì mép trên của cửa luôn song song với một mặt phẳng cố định. Hãy cho biết đó là mặt phẳng nào và giải thích tại sao.

BÀI TẬP

4.1. Trong không gian, cho hai đường thẳng $a, b$ và mặt phẳng $(P)$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

• a) Nếu $a$ chứa một điểm nằm trong $(P)$ thì $a$ nằm trong $(P)$.
• b) Nếu $a$ chứa hai điểm phân biệt thuộc $(P)$ thì $a$ nằm trong $(P)$.
• c) Nếu $a$ và $b$ cùng nằm trong $(P)$ thì giao điểm (nếu có) của $a$ và $b$ cũng nằm trong $(P)$.
• d) Nếu $a$ nằm trong $(P)$ và $a$ cắt $b$ thì $b$ nằm trong $(P)$.

4.2. Cho tam giác $ABC$ và điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(ABC)$. Lấy $D, E$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $SA, SB$ và $D, E$ khác $S$.

• a) Đường thẳng $DE$ có nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ không?
• b) Giả sử $DE$ cắt $AB$ tại $F$. Chứng minh rằng $F$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(CDE)$.

4.3. Cho mặt phẳng $(P)$ và hai đường thẳng $a, b$ nằm trong $(P)$. Một đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ và $b$ tại hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng đường thẳng $c$ nằm trong mặt phẳng $(P)$.

4.4. Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ và $M$ là một điểm thuộc cạnh $SC$ ($M$ khác $S, C$). Giả sử hai đường thẳng $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $N$. Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABM)$ và $(SCD)$.

4.5. Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ và lấy một điểm $E$ thuộc cạnh $SA$ của hình chóp ($E$ khác $S, A$). Trong mặt phẳng $(ABCD)$ vẽ một đường thẳng $d$ cắt các cạnh $CB, CD$ lần lượt tại $M, N$ và cắt các tia $AB, AD$ lần lượt tại $P, Q$.

• a) Xác định giao điểm của mp$(E, d)$ với các cạnh $SB, SD$ của hình chóp.
• b) Xác định giao tuyến của mp$(E, d)$ với các mặt của hình chóp.

4.6. Cho hình tứ diện $ABCD$. Trên các cạnh $AC, BC, BD$ lần lượt lấy các điểm $M, N, P$ sao cho $AM = CM, BN = CN, BP = 2DP$.

• a) Xác định giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(MNP)$.
• b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(MNP)$.

4.7. Tại các nhà hàng, khách sạn, nhân viên phục vụ bàn thường xuyên phải bưng bê nhiều khay, đĩa đồ ăn khác nhau. Một trong những nguyên tắc nhân viên cần nhớ là khay phải được bưng bằng ít nhất 3 ngón tay. Hãy giải thích tại sao.

4.8. Bàn cắt giấy là một dụng cụ được sử dụng thường xuyên ở các cửa hàng photo-copy. Bàn cắt giấy gồm hai phần chính: phần bàn hình chữ nhật có chia kích thước giấy và phần dao cắt có một đầu được cố định vào bàn. Hãy giải thích tại sao khi sử dụng bàn cắt giấy thì các đường cắt luôn là đường thẳng.

4.9. Trong không gian, cho ba đường thẳng $a, b, c$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

• a) Nếu $a$ và $b$ không cắt nhau thì $a$ và $b$ song song.
• b) Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
• c) Nếu $a$ và $b$ cùng song song với $c$ thì $a$ song song với $b$.
• d) Nếu $a$ và $b$ cắt nhau, $b$ và $c$ cắt nhau thì $a$ và $c$ cắt nhau.

4.10. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau, cặp đường thẳng nào song song, cặp đường thẳng nào chéo nhau?

• a) $AB$ và $CD$;
• b) $AC$ và $BD$;
• c) $SB$ và $CD$.

4.11. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh bên $SA, SB, SC, SD$ (H.4.27). Chứng minh rằng tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.

4.12. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang ($AB \parallel CD$). Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA, SB$. Chứng minh rằng tứ giác $MNCD$ là hình thang.

4.13. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang ($AB \parallel CD$). Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $SD$ (H.4.28).

• a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(MAB)$ và $(SCD)$.
• b) Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(MAB)$. Chứng minh rằng $MN$ là đường trung bình của tam giác $SCD$.

4.14. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, CD$ và $P$ là một điểm thuộc cạnh $AC$. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(BPD)$ và chứng minh giao tuyến đó song song với $BD$.

4.15. (Đố vui) Khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào, thì hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau (H.4.29). Hãy giải thích tại sao.

• Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang như Hình 4.30 thì có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau hay không?